事件的集合運算
Set Operations on Events
上一篇將事件定義為樣本空間的子集合。由於事件就是集合，我們在探討事件之間的關係時，自然可以引入集合之間的關係，因此本篇正式引入集合算子的概念。
聯集、交集、差集與餘集
兩個集合之間的常見運算有下列四種。
若 $A,B\subseteq S$，則
(1) 聯集 ($A\cup B$, union)
\[A\cup B=\lbrace\,x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\,\rbrace\](2) 交集 ($A\cap B$, intersection)
\[A\cap B=\lbrace\,x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\,\rbrace\](3) 差集 ($A-B$, difference)
\[A-B=\lbrace\,x\mid x\in A\text{ 但 }x\notin B\,\rbrace\](4) 餘集 ($A^{\prime}$, complement)
\[A^{\prime}=\lbrace\,x\mid x\in S\text{ 但 }x\notin A\,\rbrace\]集合與集合間的關係時常能夠用文氏圖 (Venn diagram) (或譯為溫氏圖) 來協助理解，例如上述四種關係所表示的範圍，即可由下圖的暗紅色區塊來理解。文氏圖多用於說明二或三個集合彼此間的交互情形；四個集合以上時已不容易看出背後的直覺，但其交互情形仍可由二或三個集合的結果代數推廣得到。
聯集 (union) 又稱併集或並集，本系列一律用聯集。聯集對應到邏輯學中「或 (or)」與四則運算中「加 (addition)」的概念，是將兩個集合中的元素放在一起所構成的新集合。就事件而言，聯集表示兩事件發生其一即可，兩者皆發生亦可。
交集對應到邏輯學中「且 (and)」與四則運算中「乘 (multiplication)」的概念，是兩個集合中均有的元素所構成的新集合。就事件而言，交集表示兩事件皆發生才可。部分寫法會把 $A\cap B$ 簡寫為 $AB$，與其「乘」的概念互相呼應。
差集 (difference) 又稱相對餘集 (relative complement)，本系列一律用差集；差集亦記為 $A\backslash B$，本系列以 $A-B$ 為主要記號。差集對應到「減」的概念，就事件而言表示 $A$ 發生但 $B$ 沒有發生，由定義亦可寫為
\[A-B=A\cap B^{\prime}\]餘集 (complement) 又稱補集或絕對餘集，本系列一律用餘集；部分教科書把餘集記為 $A^{c}$ 或 $\overline{A}$，本系列固定以 $A^{\prime}$ 為主要記號。餘集對應到邏輯學中「否 (not)」的概念，就事件而言表示 $A$ 沒有發生。當樣本空間 (或稱宇集 (universal set)) $S$ 已知時，樣本空間與 $A$ 的差集就是 $A$ 的餘集，亦即
\[S-A=A^{\prime}\]若投擲一顆骰子一次，且令 $A$ 表示其點數大於等於 $4$ 點之事件、$B$ 表示其點數小於等於 $3$ 點之事件、$C$ 表示其點數恰巧為 $5$ 點之事件。
沿用上一篇的結果，可知 $S=\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace$、$A=\lbrace4,5,6\rbrace$、$B=\lbrace1,2,3\rbrace$ 與 $C=\lbrace5\rbrace$，故由 Definition 1.7 可得
這個例題中，$A^{\prime}=B$ 只是由於題目設定的巧合，但是 $A\cap A^{\prime}=\varnothing$ 與 $A\cup A^{\prime}=S$ 卻不是巧合，而是必然的結果。讀者應該有能力藉由前述的集合運算驗證這兩點，我們在此便不證明。
集合運算的基本性質
前述的集合運算有一些附帶的性質，我們列在下方。
若 $A,B,C\subseteq S$，則有下列性質。
(1) 交換律 (commutativity property)
(2) 結合律 (associativity property)
\[\begin{gathered} A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C,\\[0.4em] A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C \end{gathered}\](3) 分配律 (distributive property)
\[\begin{gathered} A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),\\[0.4em] A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) \end{gathered}\](4) 單位元素 (identity element)
(5) 支配律 (domination law)
(6) 冪等律 (idempotent law)
(7) 對合律 (involution law)
\[(A^{\prime})^{\prime}=A\]上述性質，讀者都應可由 Definition 1.7 驗證，我們在此便不證明。但有幾個地方值得注意。
在 (4) 的單位元素中，$S$ 與 $\varnothing$ 分別是 $\cap$ 與 $\cup$ 的單位元素，亦即任何集合只要以該算子作用其上，都會得到與本身相同的結果 (例如實數在乘法下的單位元素是 $1$)。但這兩個集合如果搭配相反的算子，會得到完全相反的結果，也就是 (5) 中反而被「支配」的結果。
(7) 所提到的對合律，可從前面的關係式 $S-A=A^{\prime}$ 延伸得到 $S-A^{\prime}=A$，代表 $A$ 就是 $A^{\prime}$ 的餘集，此即
\[(A^{\prime})^{\prime}=A\]這一點完全與邏輯學中的「否」互相呼應，因為「否」也是一個對合算子。
差集並不具有交換律，亦即 $A-B$ 在一般狀況下與 $B-A$ 並不相同。由此，我們可以定義一個特殊的集合關係，即對稱差集 (symmetric difference)，其定義為
\[\begin{aligned} A\mathbin{\triangle}B &=(A-B)\cup(B-A)\\[0.4em] &=(A\cap B^{\prime})\cup(A^{\prime}\cap B)\\[0.4em] &=(A\cup B)-(A\cap B) \end{aligned}\]我們可以用下圖來表示其所指示的範圍。
狄摩根律
英國數學家狄摩根 (Augustus DeMorgan, 1806–1871) 以上述的關係發展出狄摩根律 (DeMorgan’s law)，這在邏輯學與集合論中都是常用的關係式。狄摩根律又稱作對偶律 (DeMorgan’s duality law)，經常於邏輯學中被使用於布林算子 (Boolean operators)，在電腦科學中應用甚廣。我們現在就來看看其內容。
若 $A,B\subseteq S$，則
(1) 聯集的餘集:
\[(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cap B^{\prime}\](2) 交集的餘集:
\[(A\cap B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}\]Proof. 狄摩根律包含兩個部分，在此僅證明 (1) 的情況，(2) 的情況可由 (1) 之邏輯證明。
先證明由左至右的包含關係。若 $x\in(A\cup B)^{\prime}$，則 $x\notin A$ 且 $x\notin B$，亦即 $x\in A^{\prime}\cap B^{\prime}$，此即
\[(A\cup B)^{\prime}\subseteq A^{\prime}\cap B^{\prime}\]再證明由右至左的包含關係。若 $x\in A^{\prime}\cap B^{\prime}$，則 $x\in A^{\prime}$ 且 $x\in B^{\prime}$，故 $x\notin A\cup B$，亦即 $x\in(A\cup B)^{\prime}$，此即
\[A^{\prime}\cap B^{\prime}\subseteq(A\cup B)^{\prime}\]兩個方向的包含關係同時成立，故
\[(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cap B^{\prime}\]原式得證。 $\square$
在前述的證明中，使用了一個關係是集合相等 (set equality)，其定義是兩集合內的元素完全相等，即
\[A=B\ \Longleftrightarrow\ \forall x,\ x\in A\Leftrightarrow x\in B\]在證明兩集合相等時，我們通常需證明 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。
記號 $\subset$ 在一般狀況中允許左右兩側的集合相等，故 $A\subset B$ 與 $B\subset A$ 同時成立時，唯一的可能就是兩集合相等；但在某些教科書與特定的情境中，$\subset$ 的意義等同於 $\subsetneq$ 所表示的嚴格包含於，此時左側的集合不可與右側的集合相等。為免混淆，本系列在強調允許兩側集合相等時一律以 $\subseteq$ 書寫。
狄摩根律亦能用文氏圖來理解，如以下二組對照圖中的暗紅色部分所示。
我們稍早曾經提過，$A\cup B$ 的直觀理解是「兩事件發生其一即可」，其餘集為此理解的反面，即「兩者皆不可發生」，換言之，即為 $A^{\prime}\cap B^{\prime}$；而 $A\cap B$ 的餘集則同理可得。在邏輯學中，可以否逆命題來解釋為何其餘集為「兩者皆不可發生」，而非「有其一不發生即可」。理解這個邏輯，對於數理統計中的假說檢定 (hypothesis testing) 之邏輯有莫大的幫助。
事實上，狄摩根律有一組廣義的版本，即
有限聯交集與可數聯交集
廣義狄摩根律中出現的 $\bigcup_{i=1}^{n}$ 與 $\bigcap_{i=1}^{n}$，分別是聯集與交集針對有限多個集合的推廣，定義如下
\[\begin{gathered} \bigcup_{i=1}^{n}A_i=\lbrace\,x\mid x\in A_i,\ \exists\,i\in\lbrace1,\ldots,n\rbrace\,\rbrace\\[1.0em] \bigcap_{i=1}^{n}A_i=\lbrace\,x\mid x\in A_i,\ \forall\,i\in\lbrace1,\ldots,n\rbrace\,\rbrace \end{gathered}\]當然，此處若有無窮多個集合，則我們可將有限聯集與有限交集推廣成可數聯集 (countable union) 與可數交集 (countable intersection)
如果搭配前述的集合算子及性質，我們將能利用這些工具處理各種集合關係。下面便是一些簡單的例子，能讓讀者了解這些工具的應用。
設 $S=(0,1]$，並對每一個正整數 $i$ 定義
\[A_i=\left[\frac{1}{i},1\right]\]試求 $\bigcup_{i=1}^{k}A_i$ 與 $\bigcap_{i=1}^{k}A_i$。
所求為
我們將 $A_1,A_2,\ldots,A_k$ 都畫出來比較，以便讀者理解為何其有限聯集與有限交集的結果如此。
對這個集合序列 (sequence of sets) 中的每一個集合而言，其左端會越來越小，因此在探討有限聯集的時候，左方的端點只要取最小者，也就是 $i=k$ 即可；而有限交集的結果就是貫穿所有集合的點所構成的集合，很顯然地，在此只有 $1$ 這個單點滿足這個要件。
設兩個集合序列 $\lbrace B_k\rbrace$ 與 $\lbrace C_k\rbrace$ 分別定義為
求 $B_k$ 與 $C_k$ 序列之有限聯集與有限交集的結果。
所求為
我們同樣將 $B_1,B_2,\ldots,B_n$ 畫出來。
我們可以看見，在這個序列，集合上界將一直遞減，故在計算序列的有限交集的時候，上界取最小者，也就是 $k=n$ 即可。
$C_1,C_2,\ldots,C_n$ 的序列則同時有兩端變化，下界越來越小，上界越來越大。
一旦我們將這些序列畫出來，討論其有限聯集與交集，將會變得容易且直觀許多。
單調集合序列與極限
事實上，上述的三個序列都是特殊的集合序列，它們都屬於單調集合序列 (monotone sequence of sets)。單調集合序列的可數聯集或可數交集，結果將與該集合序列的極限 (limit) 有關。我們馬上來看看其相關定義為何，以及其衍生的特殊性質。
(1) 若集合序列 $\lbrace A_i\rbrace_{i=1}^{\infty}$ 滿足
\[A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots\]則稱 $\lbrace A_i\rbrace_{i=1}^{\infty}$ 為非遞減集合序列 (non-decreasing sequence of sets)，記為 $A_i\ \cancel{\downarrow}$，並定義該集合序列之極限為
\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\](2) 若集合序列 $\lbrace A_i\rbrace_{i=1}^{\infty}$ 滿足
\[A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots\]則稱 $\lbrace A_i\rbrace_{i=1}^{\infty}$ 為非遞增集合序列 (non-increasing sequence of sets)，記為 $A_i\ \cancel{\uparrow}$，並定義該集合序列之極限為
\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\]其中非遞減與非遞增集合序列合稱為單調集合序列 (monotone sequence of sets)。
非遞減集合序列又簡稱為非遞減序列，非遞增集合序列又簡稱為非遞增序列。部分教科書以 $\subset$ 與 $\supset$ 書寫上述兩個條件，而這兩個記號在某些情境中不允許兩側集合相等，故上述定義有時亦被稱作遞增序列 (increasing sequence) 與遞減序列 (decreasing sequence)。此外，亦有教科書將 $A_i\ \cancel{\downarrow}$ 記為 $\lbrace A_i\rbrace_{i=1}^{\infty}\in\cancel{\downarrow}$，並將 $A_i\ \cancel{\uparrow}$ 記為 $\lbrace A_i\rbrace_{i=1}^{\infty}\in\cancel{\uparrow}$。
沿用 Example 1.3 的集合序列 $\lbrace A_i\rbrace$。試求 $\lim\limits_{i\to\infty}A_i$ 與 $A_i$ 之可數交集。
$\lbrace A_i\rbrace_{i=1}^{\infty}$ 是非遞減序列，故知道其極限為
我們再次觀察 Fig. 1.4 中的 $A_1,A_2,\ldots,A_k,\ldots$，該圖中各集合的左端點隨 $i$ 增大而越來越靠近 $0$，卻始終不會碰到 $0$；這次要注意當 $k$ 相當大的時候，集合下界的變化。
對這個非遞減序列而言，左端既然始終不會碰到 $0$，在探討其極限，也就是可數聯集的時候，左方的端點便不會保留閉區間的結果，而是變成一個開區間；而在交集的方面，有限交集的結果已經與 $k$ 無關了，所以可數交集的結果並不會有變化。
沿用 Example 1.4 的兩個集合序列 $\lbrace B_k\rbrace$ 與 $\lbrace C_k\rbrace$。試求 $\lim\limits_{k\to\infty}B_k$ 與 $\lim\limits_{k\to\infty}C_k$。
$\lbrace B_k\rbrace_{k=1}^{\infty}$ 與 $\lbrace C_k\rbrace_{k=1}^{\infty}$ 分別是非遞增與非遞減序列，故知道其極限分別為
我們同樣再看 Fig. 1.5 中的 $B_1,B_2,\ldots,B_n,\ldots$，注意上界在 $n$ 相當大的時候的變化。我們可以看見，在這個非遞增序列的每個集合上界，不論如何遞減，始終都會包含 $1$ 這個端點，故在計算序列極限，也就是可數交集的時候，上界會變成以 $1$ 為端點的閉區間。而 Fig. 1.6 中的 $C_1,C_2,\ldots,C_n,\ldots$ 也是同理。
從這裡可以發現，單調集合序列的極限，並不盡然等於有限聯集或交集直接取極限值的結果。
互斥與加集
在定義完各種事件的關係後，我們要探討一個特殊的事件關係，即為互斥 (disjoint 或 mutually exclusive)。
若 $A$ 與 $B$ 為樣本空間 $S$ 裡的兩個事件，且
\[A\cap B=\varnothing\]則稱此二事件互斥，或稱此二事件為互斥事件 (disjoint events 或 mutually exclusive events)。
兩事件互斥的直覺是「二者必定不會同時發生」，由其定義即可看出這個直覺，表示該二個事件並沒有共同之處，其直覺亦能以文氏圖表示為「沒有重疊的兩個集合」，如下圖。
互斥這個概念，時常被讀者與本章後面要提到的事件關係獨立 (independent)混淆。互斥的定義僅在於集合之間的關係，而獨立的定義需要用到機率函數 (probability function)，二者實為完全不同的關係，不應混為一談。
互斥雖然是兩個事件間的關係，但其使用上並不僅限於兩個事件，我們當然可以推廣至多個事件，再抓取其中任兩個事件來觀察是否互斥。若給定三個以上的事件，其中任兩個事件彼此皆互斥，則這個概念為成對互斥 (pairwise disjoint)。
在互斥的前提之下，我們可以額外定義一種集合算子，是聯集的特例。
若給定兩個集合 $A$ 與 $B$，且 $A$ 與 $B$ 互斥 (即 $A\cap B=\varnothing$)，則定義其加集 (addition) 為
\[A+B\equiv A\cup B\]$A+B$ 的範圍，我們可以如下表示。
加集是聯集的一種特例，也是對稱差集的一種特例。我們可以像前面一樣，將加集推廣至有限加集 (finite addition) 與可數加集 (countable addition)，即若 $A_1,A_2,\ldots\subseteq S$ 且 $A_i\cap A_j=\varnothing$ 對所有 $i\neq j$ 成立，則
\[\begin{gathered} \sum_{i=1}^{n}A_i=\lbrace\,x\mid x\in A_i,\ \exists!\,i\in\lbrace1,\ldots,n\rbrace\,\rbrace\\[1.0em] \sum_{i=1}^{\infty}A_i=\lbrace\,x\mid x\in A_i,\ \exists!\,i\in\mathbb{N}\,\rbrace \end{gathered}\]其中符號 $\exists!$ 表「唯一存在」，表示在其標註範圍內，存在且恰只有一個這樣的元素，使得前面的條件成立。這個特殊的集合在後續的章節中將發揮很大的功用。
本篇小結
事件是集合，因此事件之間的關係可由集合運算表示。
| 關係 | 記號 | 事件解釋 |
|---|---|---|
| 聯集 | $A\cup B$ | $A$ 或 $B$ 至少有一個發生 |
| 交集 | $A\cap B$ | $A$ 與 $B$ 同時發生 |
| 差集 | $A-B$ | $A$ 發生但 $B$ 不發生 |
| 餘集 | $A^{\prime}$ | $A$ 不發生 |
| 對稱差集 | $A\mathbin{\triangle}B$ | $A$ 與 $B$ 恰有一個發生 |
| 互斥 | $A\cap B=\varnothing$ | $A$ 與 $B$ 不可能同時發生 |
| 加集 | $A+B$ | 互斥前提下的聯集 |
有限與可數聯交集把這些運算推廣到多個事件；單調集合序列則以可數聯集或可數交集定義極限。在有了集合及事件的基本關係後，我們便可以正式進入機率的世界，下一篇將依序介紹古典機率、幾何機率、客觀機率與主觀機率。
參考文獻與延伸閱讀
- 黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
- Sheldon Ross. 2019. A First Course in Probability. 10th ed. Pearson.
- Joseph K. Blitzstein and Jessica Hwang. 2019. Introduction to Probability. 2nd ed. Chapman and Hall/CRC.
- Emanuel Parzen. 1960. Modern Probability Theory and Its Applications. Wiley.