Wei-Ann Lin · 林蔚安
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機率論 · Chapter II · Topic 24

非一對一的函數轉換

Many-to-One Transformations

Abstract. $g(\cdot)$ 不是一對一函數時反函數並不存在，Jacobian 法的公式無法直接套用，cdf 法也不能再靠保序或反序取反函數。通用的作法是將原先的隨機變數分段，直到該段中反函數存在，各段分別轉換為新變數的 pdf 後再連接起來。本篇的三道例題分別以標準常態分配的平方、拉普拉斯分配的絕對值，以及均勻分配在 $(-2,1)$ 上的平方示範這個作法，每一題都以 cdf 法與 Jacobian 法各解一次。

上一篇介紹隨機變數的函數轉換，離散型有直接列表法、pmf 法與 mgf 法，連續型有 cdf 法、Jacobian 法與 mgf 法。該篇所處理的 $Y=2X+1$、$Y=\frac{1}{X}$ 與 $Y=\bigl(1+e^{-X}\bigr)^{-1}$，其中的 $g(\cdot)$ 都是一對一函數，反函數直接存在，pmf 法、cdf 法與 Jacobian 法的公式都能直接套用。

然而 $g(\cdot)$ 的反函數並不是任何時候都存在。該篇在 Jacobian 法之後已經先交代過這時候的作法。我們只需將原先的隨機變數分段，直到該段中 $g(\cdot)$ 的反函數存在，分段轉換為新變數的 pdf 後，再以分段隨機變數的概念將各段連接起來即可。本篇的三道例題都要用到這個作法，$Y=Z^{2}$、$Y_{i}=\lvert X_{i}\rvert$ 與 $Y=X^{2}$ 都不是一對一的轉換，每一題都以 cdf 法與 Jacobian 法各解一次。Jacobian 法正是分段之後再相加，cdf 法則不必先取反函數，直接由 cdf 的定義把 $\lbrace Y\leqslant y\rbrace$ 改寫成 $X$ 的事件即可。

Example 2.50

Suppose that $Z$ has the probability density function (pdf)

\[f_{\sssig Z}(z)=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}z^{2}},\quad-\infty<z<\infty\]
\[\begin{gathered} f_{\sssig Z}(z)=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}z^{2}},\\[0.45em] -\infty<z<\infty \end{gathered}\]

Determine the pdf of $Y=Z^{2}$.

[ cdf 法 ]

由 cdf 之定義可知

\[\begin{aligned} F_{\sssig Y}(y)&=\mathbb{P}(Y\leqslant y)=\mathbb{P}\bigl(Z^{2}\leqslant y\bigr)=\mathbb{P}\bigl(\lvert Z\rvert\leqslant\sqrt{y}\bigr)\\[0.45em] &=\mathbb{P}\bigl(-\sqrt{y}\leqslant Z\leqslant\sqrt{y}\bigr)=F_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)-F_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &F_{\sssig Y}(y)=\mathbb{P}(Y\leqslant y)=\mathbb{P}\bigl(Z^{2}\leqslant y\bigr)\\[0.45em] &\quad =\mathbb{P}\bigl(\lvert Z\rvert\leqslant\sqrt{y}\bigr)\\[0.45em] &\quad =\mathbb{P}\bigl(-\sqrt{y}\leqslant Z\leqslant\sqrt{y}\bigr)\\[0.45em] &\quad =F_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)-F_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr) \end{aligned}\]

則可知 $Y$ 的 pdf 為

\[\begin{aligned} f_{\sssig Y}(y)&=F^{\prime}_{\sssig Y}(y)=f_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\,\frac{d\sqrt{y}}{d\,y}-f_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\,\frac{d\bigl(-\sqrt{y}\bigr)}{d\,y}\\[0.45em] &=f_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\,\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}-f_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\,\frac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}\\[0.45em] &=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}\left(\sqrt{y}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}+\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}\left(-\sqrt{y}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\\[0.45em] &=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi y}\,}e^{-\frac{1}{2}y},\quad y>0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &f_{\sssig Y}(y)=F^{\prime}_{\sssig Y}(y)\\[0.45em] &\quad =f_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\,\frac{d\sqrt{y}}{d\,y}\\[0.2em] &\qquad -f_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\,\frac{d\bigl(-\sqrt{y}\bigr)}{d\,y}\\[0.45em] &\quad =f_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\,\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\\[0.2em] &\qquad -f_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\,\frac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}\\[0.45em] &\quad =\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}\left(\sqrt{y}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\\[0.2em] &\qquad +\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}\left(-\sqrt{y}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\\[0.45em] &\quad =\frac{1}{\,\sqrt{2\pi y}\,}e^{-\frac{1}{2}y},\quad y>0 \end{aligned}\]

由此可知

\[Y\sim\mathrm{Gamma}\Bigl(\alpha=\tfrac{1}{2},\beta=2\Bigr)\quad\text{即}\quad Y\sim\chi^{2}(1)\]
\[\begin{gathered} Y\sim\mathrm{Gamma}\Bigl(\alpha=\tfrac{1}{2},\beta=2\Bigr)\\[0.45em] \text{即}\quad Y\sim\chi^{2}(1) \end{gathered}\]

[ Jacobian 法 ]

$Y=Z^{2}\Longrightarrow Z=\pm\sqrt{Y}$，我們分兩種狀況討論。

[ $Z=\sqrt{Y}\Longleftrightarrow Z\geqslant0$ ]

$\mathbf{J}=\dfrac{d\,z}{d\,y}=\dfrac{1}{\,2\sqrt{y}\,}$，且由此可得

\[\begin{aligned} f^{*}_{\sssig Y}(y)&=f_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}y}\times\biggl\lvert\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,2\sqrt{2\pi\,y}\,}e^{-\frac{1}{2}y},\quad y>0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f^{*}_{\sssig Y}(y)&=f_{\sssig Z}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}y}\times\biggl\lvert\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,2\sqrt{2\pi\,y}\,}e^{-\frac{1}{2}y},\quad y>0 \end{aligned}\]

[ $Z=-\sqrt{Y}\Longleftrightarrow Z<0$ ]

$\mathbf{J}=\dfrac{d\,z}{d\,y}=\dfrac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}$，且由此可得

\[\begin{aligned} f^{**}_{\sssig Y}(y)&=f_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}y}\times\biggl\lvert\frac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,2\sqrt{2\pi\,y}\,}e^{-\frac{1}{2}y},\quad y>0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f^{**}_{\sssig Y}(y)&=f_{\sssig Z}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}e^{-\frac{1}{2}y}\times\biggl\lvert\frac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,2\sqrt{2\pi\,y}\,}e^{-\frac{1}{2}y},\quad y>0 \end{aligned}\]

則由此可知 $Y$ 之 pdf 為

\[f_{\sssig Y}(y)=f^{*}_{\sssig Y}(y)+f^{**}_{\sssig Y}(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}\,y^{-\frac{1}{2}}\,e^{-\frac{1}{2}y}, & y>0\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} &f_{\sssig Y}(y)=f^{*}_{\sssig Y}(y)+f^{**}_{\sssig Y}(y)\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}\,y^{-\frac{1}{2}}\,e^{-\frac{1}{2}y},\ \ y>0\\[0.9em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

由此可知

\[Y\sim\mathrm{Gamma}\Bigl(\alpha=\tfrac{1}{2},\beta=2\Bigr)\quad\text{即}\quad Y\sim\chi^{2}(1)\]
\[\begin{gathered} Y\sim\mathrm{Gamma}\Bigl(\alpha=\tfrac{1}{2},\beta=2\Bigr)\\[0.45em] \text{即}\quad Y\sim\chi^{2}(1) \end{gathered}\]
Example 2.51

Suppose that $X_{1},\ldots,X_{n}$ is a random sample from the Laplace distribution whose location parameter is $\mu=0$ and whose scale parameter is $b=1$. Show that $\lvert X_{1}\rvert,\ldots,\lvert X_{n}\rvert$ follow an exponential distribution, and determine the value of its rate parameter.

[ cdf 法 ]

由於本題設定 $X_{1},\ldots,X_{n}\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\mathrm{Laplace}(\mu=0,\ b=1)$，故我們有

\[f_{\sssig X_i}(x_{i})= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert x_{i}\rvert\bigr), & x_{i}\in\mathbb{R}\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]
\[f_{\sssig X_i}(x_{i})= \left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert x_{i}\rvert\bigr),\ \ x_{i}\in\mathbb{R}\\[0.9em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right.\]

令 $Y_{i}=\lvert X_{i}\rvert$，$i=1,\ldots,n$，則有

\[\begin{aligned} F_{\sssig Y_i}(y_{i})&=\mathbb{P}(Y_{i}\leqslant y_{i})=\mathbb{P}\bigl(\lvert X_{i}\rvert\leqslant y_{i}\bigr)=\mathbb{P}(-y_{i}\leqslant X_{i}\leqslant y_{i})\\[0.45em] &=\int_{-y_i}^{y_i}\frac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert x_{i}\rvert\bigr)\,dx_{i}=2\int_{0}^{y_i}\frac{1}{2}\exp(-x_{i})\,dx_{i}\\[0.45em] &=\left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 1-\exp(-y_{i}), & y_{i}\geqslant0\\[0.5em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &F_{\sssig Y_i}(y_{i})=\mathbb{P}(Y_{i}\leqslant y_{i})\\[0.45em] &\quad =\mathbb{P}\bigl(\lvert X_{i}\rvert\leqslant y_{i}\bigr)\\[0.45em] &\quad =\mathbb{P}(-y_{i}\leqslant X_{i}\leqslant y_{i})\\[0.45em] &\quad =\int_{-y_i}^{y_i}\frac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert x_{i}\rvert\bigr)\,dx_{i}\\[0.45em] &\quad =2\int_{0}^{y_i}\frac{1}{2}\exp(-x_{i})\,dx_{i}\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} 1-\exp(-y_{i}),\ \ y_{i}\geqslant0\\[0.5em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

則可知 $Y_{i}$ 的 pdf 為

\[f_{\sssig Y_i}(y_{i})=\frac{d\,F_{\sssig Y_i}(y_{i})}{d\,y_{i}}= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \exp(-y_{i}), & y_{i}\geqslant0\\[0.5em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} &f_{\sssig Y_i}(y_{i})=\frac{d\,F_{\sssig Y_i}(y_{i})}{d\,y_{i}}\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \exp(-y_{i}),\ \ y_{i}\geqslant0\\[0.5em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

故可知

\[Y_{i}\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\mathrm{Exp}(\lambda=1),\quad i=1,\ldots,n\]

[ Jacobian 法 ]

由於本題設定 $X_{1},\ldots,X_{n}\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\mathrm{Laplace}(\mu=0,\ b=1)$，故我們有

\[f_{\sssig X_i}(x_{i})= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert x_{i}\rvert\bigr), & x_{i}\in\mathbb{R}\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]
\[f_{\sssig X_i}(x_{i})= \left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert x_{i}\rvert\bigr),\ \ x_{i}\in\mathbb{R}\\[0.9em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right.\]

令 $Y_{i}=\lvert X_{i}\rvert$，$i=1,\ldots,n$，則我們分成兩個情況討論。

[ $X_{i}\geqslant0$ ]

$Y_{i}=X_{i}\Longrightarrow X_{i}=Y_{i}$ 且 $\mathbf{J}=\dfrac{d\,x_{i}}{d\,y_{i}}=1$，則有

\[\begin{aligned} f^{*}_{\sssig Y_i}(y_{i})&=f_{\sssig X_i}(y_{i})\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert y_{i}\rvert\bigr), & y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\\[0.9em] &=\left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{2}\exp(-y_{i}), & y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &f^{*}_{\sssig Y_i}(y_{i})=f_{\sssig X_i}(y_{i})\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert y_{i}\rvert\bigr),\ \ y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right.\\[0.9em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{2}\exp(-y_{i}),\ \ y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

[ $X_{i}<0$ ]

$Y_{i}=-X_{i}\Longrightarrow X_{i}=-Y_{i}$ 且 $\mathbf{J}=\dfrac{d\,x_{i}}{d\,y_{i}}=-1$，則有

\[\begin{aligned} f^{**}_{\sssig Y_i}(y_{i})&=f_{\sssig X_i}(-y_{i})\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert-y_{i}\rvert\bigr), & y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\\[0.9em] &=\left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{2}\exp(-y_{i}), & y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &f^{**}_{\sssig Y_i}(y_{i})=f_{\sssig X_i}(-y_{i})\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{2}\exp\bigl(-\lvert-y_{i}\rvert\bigr),\ \ y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right.\\[0.9em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{2}\exp(-y_{i}),\ \ y_{i}\geqslant0\\[0.9em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

則由此可知 $Y_{i}$ 之 pdf 為

\[f_{\sssig Y_i}(y_{i})=f^{*}_{\sssig Y_i}(y_{i})+f^{**}_{\sssig Y_i}(y_{i})= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \exp(-y_{i}), & y_{i}\geqslant0\\[0.5em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} &f_{\sssig Y_i}(y_{i})=f^{*}_{\sssig Y_i}(y_{i})+f^{**}_{\sssig Y_i}(y_{i})\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \exp(-y_{i}),\ \ y_{i}\geqslant0\\[0.5em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

故可知

\[Y_{i}\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\mathrm{Exp}(\lambda=1),\quad i=1,\ldots,n\]
Example 2.52

Suppose that $X$ has the probability density function

\[f_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{3}, & -2<x<1\\[0.9em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]

Determine both the cdf and the pdf of $Y=X^{2}$.

[ cdf 法 ]

由 cdf 之定義可知

\[\begin{aligned} F_{\sssig Y}(y)&=\mathbb{P}(Y\leqslant y)=\mathbb{P}\bigl(X^{2}\leqslant y\bigr)\\[0.6em] &=\left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & y<0\\[0.5em] \mathbb{P}\bigl(-\sqrt{y}\leqslant X\leqslant\sqrt{y}\bigr), & 0\leqslant y<1\\[0.5em] \mathbb{P}\bigl(-\sqrt{y}\leqslant X\leqslant1\bigr), & 1\leqslant y<4\\[0.5em] 1, & y\geqslant4 \end{array} \right.\\[0.6em] &=\left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & y<0\\[0.5em] \dfrac{2}{\,3\,}\sqrt{y}, & 0\leqslant y<1\\[0.9em] \dfrac{1}{\,3\,}\bigl(1+\sqrt{y}\bigr), & 1\leqslant y<4\\[0.9em] 1, & y\geqslant4 \end{array} \right. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &F_{\sssig Y}(y)=\mathbb{P}(Y\leqslant y)=\mathbb{P}\bigl(X^{2}\leqslant y\bigr)\\[0.6em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} 0,\ \ y<0\\[0.5em] \mathbb{P}\bigl(-\sqrt{y}\leqslant X\leqslant\sqrt{y}\bigr),\\[0.2em] \qquad 0\leqslant y<1\\[0.5em] \mathbb{P}\bigl(-\sqrt{y}\leqslant X\leqslant1\bigr),\\[0.2em] \qquad 1\leqslant y<4\\[0.5em] 1,\ \ y\geqslant4 \end{array} \right.\\[0.7em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} 0,\ \ y<0\\[0.5em] \dfrac{2}{\,3\,}\sqrt{y},\ \ 0\leqslant y<1\\[0.7em] \dfrac{1}{\,3\,}\bigl(1+\sqrt{y}\bigr),\ \ 1\leqslant y<4\\[0.7em] 1,\ \ y\geqslant4 \end{array} \right. \end{aligned}\]

則可以得到 pdf 為

\[f_{\sssig Y}(y)=\frac{\,d\,F_{\sssig Y}(y)\,}{d\,y}= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{\,3\sqrt{y}\,}, & 0<y<1\\[0.9em] \dfrac{1}{\,6\sqrt{y}\,}, & 1\leqslant y<4\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} &f_{\sssig Y}(y)=\frac{\,d\,F_{\sssig Y}(y)\,}{d\,y}\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{\,3\sqrt{y}\,},\ \ 0<y<1\\[0.7em] \dfrac{1}{\,6\sqrt{y}\,},\ \ 1\leqslant y<4\\[0.7em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

[ Jacobian 法 ]

$Y=X^{2}\Longrightarrow X=\pm\sqrt{Y}$，我們分兩種狀況討論。

[ $X=\sqrt{Y}\Longleftrightarrow X\geqslant0$ ]

$\mathbf{J}=\dfrac{d\,x}{d\,y}=\dfrac{1}{\,2\sqrt{y}\,}$，且由此可得

\[f^{*}_{\sssig Y}(y)=f_{\sssig X}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert=\frac{1}{3}\times\biggl\lvert\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert=\frac{1}{\,6\sqrt{y}\,},\quad 0<y<1\]
\[\begin{aligned} f^{*}_{\sssig Y}(y)&=f_{\sssig X}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{3}\times\biggl\lvert\frac{1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,6\sqrt{y}\,},\quad 0<y<1 \end{aligned}\]

[ $X=-\sqrt{Y}\Longleftrightarrow X<0$ ]

$\mathbf{J}=\dfrac{d\,x}{d\,y}=\dfrac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}$，且由此可得

\[f^{**}_{\sssig Y}(y)=f_{\sssig X}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert=\frac{1}{3}\times\biggl\lvert\frac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert=\frac{1}{\,6\sqrt{y}\,},\quad 0<y<4\]
\[\begin{aligned} f^{**}_{\sssig Y}(y)&=f_{\sssig X}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\bigl\lvert\mathbf{J}\bigr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{3}\times\biggl\lvert\frac{-1}{\,2\sqrt{y}\,}\biggr\rvert\\[0.45em] &=\frac{1}{\,6\sqrt{y}\,},\quad 0<y<4 \end{aligned}\]

則由此可知 $Y$ 之 pdf 為

\[f_{\sssig Y}(y)=f^{*}_{\sssig Y}(y)+f^{**}_{\sssig Y}(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{\,3\sqrt{y}\,}, & 0<y<1\\[0.9em] \dfrac{1}{\,6\sqrt{y}\,}, & 1\leqslant y<4\\[0.9em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} &f_{\sssig Y}(y)=f^{*}_{\sssig Y}(y)+f^{**}_{\sssig Y}(y)\\[0.45em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{\,3\sqrt{y}\,},\ \ 0<y<1\\[0.7em] \dfrac{1}{\,6\sqrt{y}\,},\ \ 1\leqslant y<4\\[0.7em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

並可透過此 pdf 得到 cdf 為

\[\begin{aligned} F_{\sssig Y}(y)&=\mathbb{P}(Y\leqslant y)=\int_{-\infty}^{y}f_{\sssig Y}(t)\,dt\\[0.6em] &=\left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & y<0\\[0.5em] \displaystyle\int_{0}^{y}\frac{1}{\,3\sqrt{t}\,}\,dt, & 0\leqslant y<1\\[1.1em] \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\,3\sqrt{t}\,}\,dt+\int_{1}^{y}\frac{1}{\,6\sqrt{t}\,}\,dt, & 1\leqslant y<4\\[1.1em] 1, & y\geqslant4 \end{array} \right.\\[0.6em] &=\left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & y<0\\[0.5em] \dfrac{2}{\,3\,}\sqrt{y}, & 0\leqslant y<1\\[0.9em] \dfrac{1}{\,3\,}\bigl(1+\sqrt{y}\bigr), & 1\leqslant y<4\\[0.9em] 1, & y\geqslant4 \end{array} \right. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &F_{\sssig Y}(y)=\mathbb{P}(Y\leqslant y)\\[0.45em] &\quad =\int_{-\infty}^{y}f_{\sssig Y}(t)\,dt\\[0.6em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} 0,\ \ y<0\\[0.5em] \displaystyle\int_{0}^{y}\frac{1}{\,3\sqrt{t}\,}\,dt,\ \ 0\leqslant y<1\\[1.1em] \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\,3\sqrt{t}\,}\,dt\\[0.3em] \qquad +\displaystyle\int_{1}^{y}\frac{1}{\,6\sqrt{t}\,}\,dt,\\[0.3em] \qquad\qquad 1\leqslant y<4\\[0.7em] 1,\ \ y\geqslant4 \end{array} \right.\\[0.7em] &\quad =\left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} 0,\ \ y<0\\[0.5em] \dfrac{2}{\,3\,}\sqrt{y},\ \ 0\leqslant y<1\\[0.7em] \dfrac{1}{\,3\,}\bigl(1+\sqrt{y}\bigr),\ \ 1\leqslant y<4\\[0.7em] 1,\ \ y\geqslant4 \end{array} \right. \end{aligned}\]

本篇小結

$g(\cdot)$ 不是一對一函數時，反函數並不存在，作法是將原先的隨機變數分段，直到該段中反函數存在，各段分別轉換之後再連接起來。本篇的三道例題都用上了這個作法。Example 2.50 由標準常態分配的平方得到 $\chi^{2}(1)$，Example 2.51 由拉普拉斯分配的絕對值得到 $\mathrm{Exp}(1)$，Example 2.52 則由均勻分配在 $(-2,1)$ 上的平方得到一個分成兩段的密度。cdf 法在這三題之中都不必先取反函數，而是直接由 cdf 的定義把 $\lbrace Y\leqslant y\rbrace$ 改寫成 $X$ 的一個事件再求機率；Jacobian 法則是在每一段上各求一個密度 $f^{*}$ 與 $f^{**}$，再把兩者相加。Example 2.52 最能看出分段的必要。$X$ 的值域 $(-2,1)$ 對原點並不對稱，$Y$ 落在 $[1,4)$ 之間時只有 $X<0$ 那一段有貢獻，密度因而由 $\frac{1}{\,3\sqrt{y}\,}$ 減為 $\frac{1}{\,6\sqrt{y}\,}$，cdf 也隨之分成四段。

第二章到此結束。全章先由樣本空間上的實值函數定出隨機變數，再以 pmf、cdf 與 pdf 描述它的機率分配，接著由 cdf 計算各種區間的機率，並處理離散型與連續型兼具的混合型。有了分配之後，期望值、變異數、標準差、眾數、中位數與分位數各自摘要分配的一個面向，函數期望值與期望值的性質一篇則回頭處理期望值本身，說明 $\mathbb{E}[g(X)]$ 不必先求出 $g(X)$ 的分配，直接由 $X$ 的分配即可算得，期望值對線性函數也具有可交換性；動差系統把其中幾個量數收進同一套架構之下，形狀量數則由三階與四階動差刻畫偏斜的方向與尾巴的厚薄。動差母函數換了一個角度: 以一個 $t$ 的函數同時生成各階原動差，並在唯一性之下反過來認出分配是哪一個；機率母函數與累積量母函數則一個把工具函數換成 $t^{X}$、一個由 mgf 取對數，分別生成階乘動差與累積量，特徵函數再把工具函數換成 $e^{itX}$，因而對每一個隨機變數都存在。機率不等式及相關法則一節回到機率本身。馬可夫、柴比雪夫與坎特利不等式只用一階與二階動差就替尾機率取得上界，車諾夫不等式改用整個 mgf 而取得更緊的上界，延森不等式所比較的則是 $\mathbb{E}[g(X)]$ 與 $g[\mathbb{E}(X)]$ 兩者的大小，而鐘形分配經驗法則改由分配的形狀直接說出中央區間的機率。最後這兩篇處理函數轉換，回答已知 $X$ 的分配時 $Y=g(X)$ 的分配要怎麼求，一對一時直接套公式，不是一對一時先分段再合併。下一章把討論的對象由一個隨機變數推廣到多個隨機變數所組成的隨機向量。

參考文獻與延伸閱讀

  • 黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
  • Robert V. Hogg, Joseph W. McKean, and Allen T. Craig. 2019. Introduction to Mathematical Statistics. 8th ed. Pearson.
  • George Casella and Roger L. Berger. 2002. Statistical Inference. 2nd ed. Duxbury.
  • Sheldon Ross. 2019. A First Course in Probability. 10th ed. Pearson.