機率論 · Chapter II · Topic 11

中位數

Median

Abstract. 中位數是把一個分配切成前後兩段的量數: 只要 $\mathbb{P}(X\leqslant\eta_{X})$ 與 $\mathbb{P}(X\geqslant\eta_{X})$ 都不小於 $\frac{1}{2}$，$\eta_{X}$ 就是 $X$ 的中位數。它可能不唯一，甚至可能不在值域內，取 $\inf\lbrace x\mid F_{X}(x)\geqslant\frac{1}{2}\rbrace$ 可以找到其中一個；若 $F_{X}$ 連續且在值域上嚴格遞增，中位數唯一且等於 $F_{X}^{-1}(\frac{1}{2})$。衡量離散程度時若把平方換成距離，則使 $\mathbb{E}(\lvert X-a\rvert)$ 達到最小的 $a$ 正是中位數，這與期望值使平方離差的期望值達到最小恰成對照。

上一篇介紹眾數，也就是使機率函數在值域的閉包上取到最大值的那些點。眾數關心的是一個分配的哪一處最可能發生，但要指出一個分配的中央位置，還有另一種常見的作法，找一個點，使它左右兩側的機率各佔一半。

本篇介紹的中位數就是這樣的量數。以下先給出定義，接著說明中位數可能不唯一、如何由累積分配函數找到其中一個，以及它把分配切成前後兩段的直觀；然後介紹一個與期望值恰成對照的性質: 期望值使平方離差的期望值達到最小，中位數則使絕對離差的期望值達到最小，並附上證明與逐步的說明；最後以一張圖說明中位數的直觀意涵。

Definition 2.10 (中位數, median)

令 $X$ 為一隨機變數，若 $\eta_{\sssig X}$ 滿足

\[\mathbb{P}(X\leqslant\eta_{\sssig X})\geqslant\frac{1}{2}\quad\text{且}\quad\mathbb{P}(X\geqslant\eta_{\sssig X})\geqslant\frac{1}{2}\]

\[\begin{gathered} \mathbb{P}(X\leqslant\eta_{\sssig X})\geqslant\frac{1}{2}\\[0.45em] \text{且}\quad\mathbb{P}(X\geqslant\eta_{\sssig X})\geqslant\frac{1}{2} \end{gathered}\]

則稱 $\eta_{\sssig X}$ 為 $X$ 的中位數 (median)。

中位數有一些地方需要注意:

(1) 上述定義中的中位數較常被稱為母體中位數 (population median)，用以避免跟敘述統計學中的樣本中位數 (sample median) 混淆。

Note

與眾數相同，中位數亦可能不唯一，或甚至不在值域內。

(2) 由於中位數未必唯一，我們可以透過下式找到一個中位數

\[\eta_{\sssig X}=\inf\Bigl\lbrace\,x\in\mathbb{R}\,\Big|\,F_{\sssig X}(x)\geqslant\frac{1}{2}\,\Bigr\rbrace\]

Note

在 $F_{\sssig X}$ 連續且在值域 $\mathcal{R}_{\sssig X}$ 上嚴格遞增的分配中，此方法所找到的中位數會是下面這個值

\[\eta_{\sssig X}=F^{-1}_{\sssig X}\left(\frac{1}{2}\right)\]

而且這也是該分配唯一的中位數。

(3) 直觀上來說，中位數的意義在於該點將整個分配分成前後兩半，這套定義與直觀，能夠直接推廣至分位數 (quantile) 上，我們稍後會談到。

Note

由於中位數將整個分配切為前後兩段，故在一個對稱分配上，中位數正好會在整個分配的正中間，特別如果該對稱分配是單峰對稱分配，則中位數的位置，與期望值和眾數會是相同的。

在 Theorem 2.14 中我們曾提過，$\mathbb{E}\bigl[(X-a)^{2}\bigr]$ 是一種 $X$ 與 $a$ 之間的平均離散程度，但離散程度未必要使用平方作為考量。某些時候我們會使用 $X$ 和 $a$ 的距離，也就是 $\lvert X-a\rvert$，作為離散程度的依據，此時我們會有以下定理。

Theorem 2.17 (中位數使絕對離差的期望值最小, the median minimizes the mean absolute deviation)

若 $X$ 為一連續型隨機變數，pdf 為 $f_{\sssig X}(x)$，且 $\mathbb{E}\bigl(\lvert X\rvert\bigr)<\infty$，令

\[g(a)=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-a\rvert\bigr],\quad\forall a\in\mathbb{R}\]

則 $X$ 的中位數 $\eta_{\sssig X}$ 是使得 $g(a)$ 達到最小值的 $a$，此即

\[g(a)\geqslant g(\eta_{\sssig X}),\quad\forall a\in\mathbb{R}\]

Note

Theorem 2.17 的前提限定為連續型，是為了與下面的證明相符: 證明中會用到下面這條性質

\[\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}f_{\sssig X}(x)\,dx=\frac{1}{2}\quad\text{與}\quad\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}f_{\sssig X}(x)\,dx=\frac{1}{2}\]

\[\begin{gathered} \int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}f_{\sssig X}(x)\,dx=\frac{1}{2}\\[0.45em] \text{與}\quad\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}f_{\sssig X}(x)\,dx=\frac{1}{2} \end{gathered}\]

這兩個等式，而 Definition 2.10 給的是兩個 $\geqslant\frac{1}{2}$ 的不等式，離散型與混合型未必取到等號。事實上，只要 $\mathbb{E}\bigl(\lvert X\rvert\bigr)<\infty$，這個結論對一般的隨機變數都成立，只是證明較繁，須改由累積分配函數著手，本篇不再細談。

Proof. 由 Definition 2.10 與絕對值的分段寫法可知

\[\begin{aligned} g(a)&=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-a\rvert\bigr]=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert x-a\rvert\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\int_{-\infty}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{a}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\quad+\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(\eta_{\sssig X}-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-\eta_{\sssig X})\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\quad+2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]+2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\geqslant\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]=g(\eta_{\sssig X}) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &g(a)=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-a\rvert\bigr]\\[0.45em] &\quad=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert x-a\rvert\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{-\infty}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{a}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(\eta_{\sssig X}-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-\eta_{\sssig X})\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]\\[0.2em] &\qquad+2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad\geqslant\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]=g(\eta_{\sssig X}) \end{aligned}\]

原式得證。 $\square$

Note

上述的證明中，使用了積分範圍的拆解，其中比較關鍵的地方不少，首先是下面這一步

\[\begin{aligned} \int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx&=-\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=-\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

由此可將過程中的其中二項合併，即

\[\begin{aligned} &\int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

再者則是利用了以下的等式

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx&=a\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}f_{\sssig X}(x)\,dx-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=a\cdot\frac{1}{2}-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=a\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=a\cdot\frac{1}{2}-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

以及

\[\begin{aligned} \int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx&=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx-a\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx-a\cdot\frac{1}{2} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad-a\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx-a\cdot\frac{1}{2} \end{aligned}\]

由此可合併得到

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx \end{aligned}\]

接著利用

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx-\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\eta_{\sssig X}\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}f_{\sssig X}(x)\,dx-\eta_{\sssig X}\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}f_{\sssig X}(x)\,dx=0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad-\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\eta_{\sssig X}\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad-\eta_{\sssig X}\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}f_{\sssig X}(x)\,dx=0 \end{aligned}\]

與前式合併可得到

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+0\\[0.45em] &\quad=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx-\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(\eta_{\sssig X}-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-\eta_{\sssig X})\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr] \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx+0\\[0.45em] &\quad=\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad-\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad-\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}\eta_{\sssig X}\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\int_{-\infty}^{\eta_{\sssig X}}(\eta_{\sssig X}-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.2em] &\qquad+\int_{\eta_{\sssig X}}^{\infty}(x-\eta_{\sssig X})\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr] \end{aligned}\]

最後分析 $2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx$ 這一項，可分為 $\eta_{\sssig X}\leqslant a$ 與 $\eta_{\sssig X}>a$ 討論。

[ $\eta_{\sssig X}\leqslant a$ ]

\[2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx=2\int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\geqslant0\]

\[\begin{aligned} &2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad=2\int_{\eta_{\sssig X}}^{a}(a-x)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\geqslant0 \end{aligned}\]

[ $\eta_{\sssig X}>a$ ]

\[2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\geqslant0\]

故可知道

\[\begin{aligned} g(a)&=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]+2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\geqslant\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]=g(\eta_{\sssig X}),\quad\forall a\in\mathbb{R} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &g(a)=\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]\\[0.2em] &\qquad+2\int_{a}^{\eta_{\sssig X}}(x-a)\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &\quad\geqslant\mathbb{E}\bigl[\lvert X-\eta_{\sssig X}\rvert\bigr]\\[0.2em] &\qquad=g(\eta_{\sssig X}),\quad\forall a\in\mathbb{R} \end{aligned}\]

原式得證。

Note

若使用離差的絕對值，作為離散程度的考量，則好處是單位與原本相同，但隨之而來的缺點是絕對值的運算性質並不好。從直觀上而言，這個定理指出平均來說，所有 $X$ 到中位數 $\eta_{\sssig X}$ 的距離是最短的。

下面就用圖示來理解中位數的直觀意涵。

一條右偏的機率密度曲線，橫軸為 x，曲線自左端升起、達到峰值之後緩緩落回。曲線下方由一條垂直虛線分成左右兩塊，虛線與橫軸相交處標為 η_X。虛線左側的區域加上陰影並標示二分之一，虛線右側未加陰影，同樣標示二分之一，表示兩塊面積相等。 — Fig. 2.14. 中位數 $\eta_{\sssig X}$ 把密度曲線下方的面積切成相等的兩塊，左右各為 $\frac{1}{2}$，圖中以陰影標出左邊那一塊。

本篇小結

Definition 2.10 以 $\mathbb{P}(X\leqslant\eta_{\sssig X})\geqslant\frac{1}{2}$ 與 $\mathbb{P}(X\geqslant\eta_{\sssig X})\geqslant\frac{1}{2}$ 兩個不等式界定中位數 $\eta_{\sssig X}$，指稱時以母體中位數與樣本中位數區別。中位數可能不唯一，甚至可能不在值域內；由累積分配函數取下確界 $\inf\lbrace x\in\mathbb{R}\mid F_{\sssig X}(x)\geqslant\frac{1}{2}\rbrace$ 可以找到其中一個，而在 $F_{\sssig X}$ 連續且於值域上嚴格遞增時，中位數唯一且等於 $F^{-1}_{\sssig X}(\frac{1}{2})$。它把整個分配切成前後兩段的直觀，稍後會直接推廣到分位數；在對稱分配上它落在正中間，若又是單峰對稱分配，則與期望值和眾數同在一點。

Theorem 2.17 與 Theorem 2.14 恰成對照: 平均離散程度若以平方衡量，使它最小的是期望值；若改以距離衡量，使 $\mathbb{E}\bigl[\lvert X-a\rvert\bigr]$ 最小的則是中位數。證明的作法是把 $\lvert x-a\rvert$ 的積分依 $a$ 與 $\eta_{\sssig X}$ 拆成四段，合併之後餘下一個非負的項，該項在 $a=\eta_{\sssig X}$ 時為零。Fig. 2.14 則畫出了中位數把密度曲線下方的面積切成相等兩塊的樣子。

下一篇接著把中位數推廣為分位數，其中的 Example 2.26 會給出一個中位數不唯一的具體例子。

參考文獻與延伸閱讀

黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
Morris H. DeGroot and Mark J. Schervish. 2012. Probability and Statistics. 4th ed. Pearson.
Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, and Duane C. Boes. 1974. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed. McGraw-Hill.
Robert V. Hogg, Joseph W. McKean, and Allen T. Craig. 2019. Introduction to Mathematical Statistics. 8th ed. Pearson.