眾數
Mode
上一篇以數道例題示範了變異數的求算，說明期望值使平方離差的期望值達到最小，並以泰勒級數展開求出 $g(X)$ 的期望值與變異數的近似值，最後介紹了與期望值同單位的標準差。期望值指出一個分配的中心，變異數與標準差則衡量分散的程度，兩者合起來已能描述一個分配的大致樣貌，但仍有一些從別的角度出發的量數，能補上期望值與變異數看不到的訊息。
本篇介紹其中的眾數。以下先給出眾數的定義，說明它與樣本眾數的區別、可能不唯一的情形，以及在連續型之下判斷內解與角解的作法，再以兩張圖對照這兩種情形，接著以三道例題示範連續型與離散型的求法，最後對整數值隨機變數給出一個由相鄰機率比值出發的判準，並以一道例題示範其用法。
若 $X$ 為一隨機變數，pdf 為 $f_{\sssig X}(x)$ (或 pmf 為 $p_{\sssig X}(x)$)，值域為 $\mathcal{R}_{\sssig X}$，並以 $\overline{\mathcal{R}_{\sssig X}}$ 表 $\mathcal{R}_{\sssig X}$ 的閉包 (closure)。連續型的密度在 $\overline{\mathcal{R}_{\sssig X}}$ 的端點上，一律以自值域內部逼近的極限值計 (以該極限存在者為限)。若 $f_{\sssig X}$ 在 $\overline{\mathcal{R}_{\sssig X}}$ 上的最大值存在，則使 $f_{\sssig X}$ 取到這個最大值的那些 $x$ 所成的集合
\[\lbrace\,x\in\overline{\mathcal{R}_{\sssig X}}\mid f_{\sssig X}(x)=\max_{y\in\overline{\mathcal{R}_{\sssig X}}}f_{\sssig X}(y)\,\rbrace\]之中的每一個元素 $m_o$，皆為 $X$ 之眾數 (mode)；離散型只需把式中的 $f_{\sssig X}$ 換成 $p_{\sssig X}$。
眾數有一些地方需要注意:
(1) 上述定義中的眾數較常被稱為母體眾數 (population mode)，用以避免跟敘述統計學中的樣本眾數 (sample mode) 混淆。
與樣本眾數相同，母體眾數亦可能不唯一或不存在，例如稍後將會提到的均勻分配 (uniform distribution) 即是很好的例子。
(2) 定義上，母體眾數是指使得機率函數最大化的點，而在直觀解釋上，可以理解為整個分配中最可能發生的點。
另有一種讀法，把眾數所指的「最大化」看成一種局域的最大化: 只要求密度 (或 pmf) 在該點的一個鄰域 (neighborhood) 之內取到最大，而不與全體比較，微積分上代表相對極值而非全域極值。在這種讀法之下，若某分配有多個局域的極值 (即多峰分配 (multimodal distribution))，則該分配的每一個峰所在的點都是眾數。這種讀法通行於多峰分配與密度估計的文獻，Definition 2.9 採的則是全域的界定；本篇後面由相鄰兩點的機率比值出發的兩式，正是這種讀法在離散型的判準。
離散型不能把鄰域的說法照字面搬過來。以整數值隨機變數為例，值域上的每一點都與其餘各點分開，鄰域的半徑取得夠小時，其中就只剩該點自己，局域最大的不等式自動成立，值域上的每一點都會成為眾數；改以值域中左右緊鄰的兩點比較，才避得開這個結果。這個作法有正式的出處: Keilson and Gerber (1971) 對離散型單峰的界定即是相鄰兩點的比較，該文並證出 pmf 為對數凹 (log-concave)，等價於它與任何單峰的離散分配獨立相加之後仍然單峰 (獨立與和是下一章的內容)，這個性質文獻稱為強單峰 (strong unimodality)。
一般而言，連續型變數求解眾數的方法，多半會判斷該點是否是一個函數的臨界點 (critical point)，再判斷其屬於內點 (interior point) 或是邊界點 (boundary point)，最後決定要使用內解 (interior solution)，或是使用角解 (corner solution) 幫助判斷。
其中，內解是指針對函數的內點，使用微積分的一階及二階微分條件，判斷是否為極值；角解則是指直接繪圖，或由函數本身的增減性質，判斷其函數邊界點是否是極值。
下面使用兩張圖來說明角解及內部解的差異。
若讀者還記得 Fig. 2.11 的變異數比較圖，應該可以發現在當時的圖中，期望值所對應的點，也是使得該分配的機率密度達到最大值的點。這個原因是該圖的分配是單峰對稱分配 (unimodal and symmetric distribution)，故會有此結果。
稍後要提到的中位數 (median) 在單峰對稱分配中，亦會與期望值和眾數為同一個點。
Suppose that $X$ denotes the growth in demand for electrical power, measured in millions of kilowatt hours, in a certain region over the coming $2$ years, and that the density function of $X$ is
\[f_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{64}x^{3}, & 0<x<4\\[0.7em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]- Find the mode of the growth in demand.
(5) 承前面各小題的密度函數，先看 $f_{\sssig X}$ 在值域上的增減性質。由
\[f^{\prime}_{\sssig X}(x)=\frac{3}{\,64\,}x^{2}>0,\quad 0<x<4\]可知 $f_{\sssig X}$ 在 $(0,4)$ 上嚴格遞增，故在值域內部找不到臨界點，這一題要以角解處理。值域是開區間，右端點 $4$ 並不屬於值域，分段式在該點記為 $0$；依 Definition 2.9，比較是在值域的閉包 $[0,4]$ 上進行，端點上的取值改用自值域內部逼近的極限值，即
$f_{\sssig X}$ 既嚴格遞增，這個極限值就是比較所得的最大值，眾數即取在右端這個邊界點，所求為
\[m_o=4\]Suppose that a stick of unit length is broken at a single point, and that the position $X$ of the break has the density
\[f_{\sssig X}(x)=6\,x(1-x),\quad 0<x<1\]- Find the mode of the length of the piece that contains the midpoint.
(3) 承前一小題，含中點的那一段必為較長的一段，故所求為
\[Y=\max(X,\,1-X)\]的眾數。對 $\frac{1}{\,2\,}<y<1$ 有
兩邊對 $y$ 微分，即得 $Y$ 之 pdf 為
而
可知 $f_{\sssig Y}$ 在 $\frac{1}{\,2\,}<y<1$ 上嚴格遞減，故在區間內部找不到臨界點。與前一題同理，比較在 $[\frac{1}{\,2\,},1]$ 上進行，左端點上的取值改用極限值 $3$，$f_{\sssig Y}$ 既嚴格遞減，這個值就是比較所得的最大值，眾數即取在左端這個邊界點，所求為
\[m_o=\frac{1}{\,2\,}\]這一題問的是含中點那一段長度的眾數，也就是 $Y$ 的眾數，而不是斷點位置 $X$ 的眾數。$X$ 與 $Y$ 的密度並不相同，必須先求出 $f_{\sssig Y}$ 才能討論。
求出 $f_{\sssig Y}$ 之後，這一題正好與 Fig. 2.13 的內部解成對照。$f_{\sssig Y}$ 在 $\frac{1}{\,2\,}<y<1$ 的內部沒有臨界點，一階與二階條件在此無從施力，只能由密度本身的增減性質判斷: 遞減的密度使最高的位置落在左端的邊界上，這就是 Fig. 2.12 的角解。若密度在區間內部先升後降，最高的位置才會落在內部的臨界點上，那才是以一階與二階條件判斷的內解。
Suppose that $X$ denotes the number of accidents occurring in Ankang City in a week, and that the probability distribution of the number of accidents is given in the following table.
| $x$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|
| $\mathbb{P}(X=x)$ | $0.2$ | $0.3$ | $0.3$ | $0.2$ |
- Find the mode of this distribution.
(3) 承前面各小題的機率分配，由表可知 $X=4$ 及 $5$ 都使得 $\mathbb{P}(X=x)$ 達到最大值 $0.3$，故此機率分配的眾數所成的集合為
\[\lbrace\,4,\,5\,\rbrace\]也就是 $4$ 與 $5$ 都是眾數。
離散型隨機變數中，尋找眾數的方式並不若連續型變數這麼直接，若 pmf 較為複雜，尋找眾數的過程可能相當不容易，然而，尋找眾數的觀念是相同的。
部分教科書上將眾數的定義寫為，眾數 $m_o$ 為滿足
\[f_{\sssig X}(m_o)\geqslant f_{\sssig X}(x),\quad\forall\,x\in\mathbb{R}\]之值 (離散型則記為 $p_{\sssig X}(m_o)\geqslant p_{\sssig X}(x)$ 對一切 $x\in\mathbb{R}$ 皆成立)。這個寫法與 Definition 2.9 要求的同樣是全域的最大化: 密度在值域之外為 $0$，因此在整條實數線上比較與在值域上比較，密度所能達到的最高水準相同。兩者的差別只在值域的端點: 依這個寫法，開區間的端點不屬於值域，密度在其上為 $0$，Example 2.10 (Continued) 那樣密度要到端點才逼近最高水準的分配便沒有眾數；Definition 2.9 改在值域的閉包上比較，端點上的取值改用極限值，這一類角解因而有解。
若由此來看，針對離散型隨機變數 (特別是整數值隨機變數)，將有一個比較容易尋找的方式。這裡要先設一個前提: $X$ 的 pmf 為單峰的，也就是機率隨 $x$ 遞增到某一點之後便不再回升，一個常見的充分條件是 pmf 為對數凹的。下面的兩個不等式只要求 $m_o$ 的機率不低於左右緊鄰兩點的機率，正是前面提到的局域讀法在離散型的寫法，對一般的 pmf 未必推得出 Definition 2.9 所要的全域最大值；有了單峰的前提，滿足這兩式的點才必定是使 pmf 最大的點。令 $m_o$ 表示隨機變數 $X$ 的眾數，則我們有
\[\left\lbrace \begin{array}{l} p_{\sssig X}(m_o)\geqslant p_{\sssig X}(m_o+1)\\[0.35em] p_{\sssig X}(m_o)\geqslant p_{\sssig X}(m_o-1) \end{array} \right.\]利用上式，搭配 $X$ 的 pmf，即可求解眾數 $m_o$，見下列範例。
令離散型隨機變數 $X$ 具以下 pmf:
\[p_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}, & x=0,1,2,\ldots\\[0.7em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]其中 $\lambda>0$，試求該分配之眾數為何？
令 $m_o$ 表示隨機變數 $X$ 的眾數，則我們有
\[\left\lbrace \begin{array}{l} p_{\sssig X}(m_o)\geqslant p_{\sssig X}(m_o+1)\\[0.35em] p_{\sssig X}(m_o)\geqslant p_{\sssig X}(m_o-1) \end{array} \right.\]由此，分別可得到
與
合併此二式，可以得到
\[\lambda-1\leqslant m_o\leqslant\lambda\]則所求為
\[m_o= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \lambda-1\ \text{或}\ \lambda, & \lambda\in\mathbb{N}\\[0.5em] [\lambda], & \lambda\notin\mathbb{N} \end{array} \right.\]其中 $[\lambda]$ 是高斯符號，表不大於 $\lambda$ 之最大整數。
上面第二個比值除以 $p_{\sssig X}(m_o-1)$，前提是 $m_o-1$ 仍落在 $X$ 的值域之內。當 $\lambda<1$ 時，由
\[p_{\sssig X}(0)=e^{-\lambda}>\lambda\,e^{-\lambda}=p_{\sssig X}(1)\]可知 pmf 自 $x=0$ 起就一路遞減，眾數為 $0$，此時 $m_o-1=-1$ 並不在值域之內，第二個比值的式子並不適用。這個情形下 $\lambda\notin\mathbb{N}$，$[\lambda]=0$，答案本身仍然對得上，只是不能由該式導出。
本篇小結
Definition 2.9 把眾數界定為使機率函數在值域的閉包上取到最大值的那些點所成的集合中的元素，連續型的密度在端點上以極限值比較，而這個最大值未必存在。既然是集合，眾數自然可能不只一個，也可能一個都沒有；均勻分配就是不唯一的例子。指稱時以母體眾數與樣本眾數區別，直觀上它是整個分配中最可能發生的點。另有一種只在鄰域之內比較的局域讀法，在那種讀法之下，多峰分配的每一個峰所在的點都是眾數。
連續型求眾數的作法，是先判斷密度取到最高值的位置落在值域的內點還是邊界點: 落在內點的以一階與二階條件判斷，是 Fig. 2.13 的內解；落在邊界點的只能由密度本身的增減性質判斷，是 Fig. 2.12 的角解。Example 2.10 (Continued) 與 Example 2.9 (Continued) 都是角解，而且密度所在的區間都是開區間，端點不屬於該區間，比較因而在閉包上進行，端點上的取值改用極限值，眾數即取在該端點。Example 2.15 (Continued) 是離散型，逐點比較機率的大小即可，該題有兩個眾數。
部分教科書把眾數的最大化寫成在整條實數線上比較，與 Definition 2.9 同樣要求全域的最大化，差別只在值域的端點算不算數。在 pmf 為單峰的前提之下，整數值隨機變數的眾數可由相鄰兩點的機率比值求得，Example 2.22 即是一例。下一篇介紹另一個從位置出發的量數，中位數。
參考文獻與延伸閱讀
- 黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
- Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, and Duane C. Boes. 1974. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed. McGraw-Hill.
- Julian Keilson and Hans U. Gerber. 1971. “Some Results for Discrete Unimodality.” Journal of the American Statistical Association 66 (334): 386–389.
- Sudhakar Dharmadhikari and Kumar Joag-Dev. 1988. Unimodality, Convexity, and Applications. Academic Press.