機率論 · Chapter II · Topic 12

分位數

Quantiles

Abstract. 分位數把中位數的想法推廣到任意比例: 給定一個介於 $0$ 與 $1$ 之間的 $p$，同時滿足 $\mathbb{P}(X\leqslant x_{p})\geqslant p$ 與 $\mathbb{P}(X\geqslant x_{p})\geqslant1-p$ 的 $x_{p}$ 稱為 $p$-分位數，直觀上它把整個分配切成前後兩段，前段佔全部的 $p$、後段佔全部的 $1-p$。換一個角度來看，$q-1$ 個分位數可以把一個分配均分為 $q$ 個等份，第 $k$ 個分界點記為 $q_{k}$；取 $q=4$、$q=10$ 與 $q=100$，便分別得到四分位數、十分位數與百分位數。

上一篇介紹中位數，它把一個分配切成機率各佔一半的前後兩段。這一刀切在正中央，但正中央並不是唯一值得關心的位置。我們也常想知道有四分之一的機率落在哪一個點以下，或是把一個分配均分成十份、一百份之後，各個分界點分別落在哪裡。

本篇介紹的分位數，就是把中位數的想法推廣到任意的比例。以下先給出分位數的兩種定義，說明如何由 cdf 找到其中一個分位數，再以兩張圖分別呈現兩種定義的直觀意涵，接著看四分位數、十分位數與百分位數這三種常見的設定，最後以五道例題示範離散型、連續型與混合型的求算。

Definition 2.11 (分位數, quantile)

令 $X$ 為一隨機變數且 $0<p<1$，若 $x_{\sssig p}\in\mathbb{R}$ 滿足

\[\mathbb{P}(X\leqslant x_{\sssig p})\geqslant p\quad\text{且}\quad\mathbb{P}(X\geqslant x_{\sssig p})\geqslant1-p\]

\[\begin{gathered} \mathbb{P}(X\leqslant x_{\sssig p})\geqslant p\\[0.45em] \mathbb{P}(X\geqslant x_{\sssig p})\geqslant1-p \end{gathered}\]

則稱 $x_{\sssig p}$ 為 $X$ 的 $p$-分位數 ($p$-quantile)。

又若在上述條件中，$k, q\in\mathbb{N}$ 且 $1\leqslant k\leqslant q-1$、$q_{\sssig k}\in\mathbb{R}$ 滿足

\[\mathbb{P}(X\leqslant q_{\sssig k})\geqslant\frac{k}{\,q\,}\quad\text{且}\quad\mathbb{P}(X\geqslant q_{\sssig k})\geqslant1-\frac{k}{\,q\,}\]

\[\begin{gathered} \mathbb{P}(X\leqslant q_{\sssig k})\geqslant\frac{k}{\,q\,}\\[0.45em] \mathbb{P}(X\geqslant q_{\sssig k})\geqslant1-\frac{k}{\,q\,} \end{gathered}\]

則稱 $q_{\sssig k}$ 為 $X$ 的第 $k$ 個 $q$-分位數 ($k$-th $q$-quantile)。

Note

Definition 2.11 的第二種定義以 $\frac{k}{q}$ 取代第一種定義中的 $p$，而第一種定義要求 $0<p<1$，故 $k$ 的範圍寫成 $1\leqslant k\leqslant q-1$，兩端都要排除: $k=0$ 給出 $\frac{k}{q}=0$，$k=q$ 給出 $\frac{k}{q}=1$，都落在 $0<p<1$ 之外。這也與下面 $q=4$ 時取 $k=1, 2, 3$、$q=10$ 時取 $k=1, \ldots, 9$ 的用法一致。

分位數 (quantile) 有一些地方需要注意:

(1) 上述定義中的分位數較常被稱為母體分位數 (population quantile)，用以避免與敘述統計學中的樣本分位數 (sample quantile) 混淆。

(2) $p$-分位數 (第 $k$ 個 $q$-分位數) 也同樣未必唯一，但我們可以分別透過下面兩個式子，找到其中一個 $p$-分位數與第 $k$ 個 $q$-分位數

\[\begin{gathered} x_{\sssig p}=\inf\lbrace x\in\mathbb{R}\mid F_{\sssig X}(x)\geqslant p\rbrace\\[0.7em] q_{\sssig k}=\inf\left\lbrace x\in\mathbb{R}\;\middle|\;F_{\sssig X}(x)\geqslant\frac{k}{\,q\,}\right\rbrace \end{gathered}\]

Note

與中位數相同，若 $F_{\sssig X}$ 連續且於值域上嚴格遞增，則前述的找法所找到的分位數，會是

\[\begin{gathered} x_{\sssig p}=F^{-1}_{\sssig X}(p)\\[0.7em] q_{\sssig k}=F^{-1}_{\sssig X}\!\left(\frac{k}{\,q\,}\right) \end{gathered}\]

這個值也是該分配唯一的 $p$-分位數 (第 $k$ 個 $q$-分位數)。

(3) 與中位數相似，直觀上來說，$p$-分位數 (第 $k$ 個 $q$-分位數) 的意義在於該點將整個分配切成前後兩段，前面一段佔全部的 $p$ (或 $\frac{k}{q}$)、後面一段佔全部的 $1-p$ (或 $1-\frac{k}{q}$)。

Note

在第二種定義中，這組共 $q-1$ 個的分位數，將整個分配均分為 $q$ 個等份，$q_{\sssig k}$ 是其中的第 $k$ 份與第 $k+1$ 份的分界點。

下面就用圖示來理解 $p$-分位數的直觀意涵。

一條右偏的機率密度曲線，橫軸為 x。曲線下方有一條虛線界線自曲線垂直落到橫軸，軸下標為 x_p。界線左側到曲線起點之間的面積畫上淡色陰影並標為 p，界線右側到曲線右端之間的面積標為 1 減 p。 — Fig. 2.15. $p$-分位數 $x_{\sssig p}$ 把分配切成前後兩段: 界線左側的面積為 $p$、右側的面積為 $1-p$。

或是以第二種定義來理解第 $k$ 個 $q$-分位數的直觀意涵。

一條右偏的機率密度曲線，橫軸為 x。曲線下方有三條虛線界線自曲線垂直落到橫軸，軸下由左至右標為 q1、q2、q3。三條界線把曲線下的面積分成四塊，四塊深淺交替上色，每一塊各標四分之一。四塊的寬度並不相等，最左一塊最窄，最右一塊一路延伸到曲線的右端。 — Fig. 2.16. 取 $q=4$ 時，三個分位數 $q_{1}$、$q_{2}$、$q_{3}$ 把整個分配均分為四個等份，每一份的機率各為 $\frac{1}{4}$。

Definition 2.11 中，若我們設定第二種定義的 $q$ 是以下幾個特殊的自然數，則其定義就成為我們常見的幾種分位數，以下就以不同的 $q$ 討論。

(1) 四分位數 (quartile): 若 $q=4$，則 $q_{\sssig k}, k=1, 2, 3$ 為我們常見的四分位數，更常被記為 $Q_{\sssig k}, k=1, 2, 3$，其中

\[Q_2=\eta_{\sssig X}\]

(2) 十分位數 (decile): 若 $q=10$，則 $q_{\sssig k}, k=1, \ldots, 9$ 為我們常見的十分位數，更常被記為 $D_{\sssig k}, k=1, \ldots, 9$，其中

\[D_5=Q_2=\eta_{\sssig X}\]

(3) 百分位數 (percentile): 若 $q=100$，則 $q_{\sssig k}, k=1, \ldots, 99$ 為我們常見的百分位數，更常被記為 $P_{\sssig r}, r=1, \ldots, 99$，其中

\[P_{50}=D_5=Q_2=\eta_{\sssig X}\qquad P_{25}=Q_1\qquad P_{75}=Q_3\]

\[\begin{gathered} P_{50}=D_5=Q_2=\eta_{\sssig X}\\[0.45em] P_{25}=Q_1\qquad P_{75}=Q_3 \end{gathered}\]

Note

百分位數正是早前臺灣國中的基本學力測驗所採用的「PR 值」。

Example 2.23

假設 $X$ 有機率分配

\[p_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{x}{10}, & x=1, 2, 3, 4\\[0.7em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]

試求其第 $15$ 百分位數為何？

由 Definition 2.11 可知

\[\mathbb{P}(X\leqslant2)=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3}{10}\geqslant\frac{15}{100}\]

\[\begin{aligned} \mathbb{P}(X\leqslant2)&=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}\\[0.45em] &=\frac{3}{10}\geqslant\frac{15}{100} \end{aligned}\]

且

\[\mathbb{P}(X\geqslant2)=\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+\frac{4}{10}=\frac{9}{10}\geqslant\frac{85}{100}\]

\[\begin{aligned} \mathbb{P}(X\geqslant2)&=\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+\frac{4}{10}\\[0.45em] &=\frac{9}{10}\geqslant\frac{85}{100} \end{aligned}\]

故所求為

\[P_{15}=2\]

Example 2.24

假設 $X$ 有機率分配

\[f_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{4}, & 0<x<4\\[0.7em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]

試求其上四分位數為何？

先求出 $X$ 的 cdf 為

\[F_{\sssig X}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{\sssig X}(t)\,dt= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x\leqslant0\\[0.5em] \dfrac{x}{4}, & 0<x<4\\[0.7em] 1, & x\geqslant4 \end{array} \right.\]

\[\begin{aligned} &F_{\sssig X}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{\sssig X}(t)\,dt\\[0.5em] &\quad = \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x\leqslant0\\[0.5em] \dfrac{x}{4}, & 0<x<4\\[0.7em] 1, & x\geqslant4 \end{array} \right. \end{aligned}\]

再由 Definition 2.11 可知

\[F_{\sssig X}(Q_3)=\frac{Q_3}{4}=\frac{3}{4}\]

故所求為

\[Q_3=3\]

Example 2.25

Let $X$ be a continuous random variable with pdf

\[f_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} e^{-x}, & x>0\\[0.4em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]

Find the 9-th decile of $X$.

先求出 $X$ 的 cdf 為

\[F_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x<0\\[0.4em] 1-e^{-x}, & x\geqslant0 \end{array} \right.\]

再由 Definition 2.11 可知

\[F_{\sssig X}(D_9)=1-e^{-D_9}=0.9\]

故所求為

\[D_9=-\ln0.1=\ln10\]

Definition 2.10 提過中位數未必唯一，下面就是一個中位數不唯一的例子。

Example 2.26

假設 $X$ 有機率分配

\[f_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{4}, & 0<x<2\ \text{或}\ 4<x<6\\[0.7em] 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.\]

\[f_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{@{}l@{}} \dfrac{1}{4},\\[0.25em] \quad 0<x<2\\[0.2em] \quad \text{或}\ 4<x<6\\[0.6em] 0,\ \ \text{otherwise} \end{array} \right.\]

試求其母體中位數為何？

若 $a\in[2, 4]$，則可以發現

\[\mathbb{P}(X\leqslant a)=F_{\sssig X}(a)=F_{\sssig X}(2)=\int_{0}^{2}\frac{1}{\,4\,}\,dx=\frac{1}{\,2\,}\]

\[\begin{aligned} &\mathbb{P}(X\leqslant a)=F_{\sssig X}(a)=F_{\sssig X}(2)\\[0.45em] &\quad =\int_{0}^{2}\frac{1}{\,4\,}\,dx=\frac{1}{\,2\,} \end{aligned}\]

且

\[\begin{aligned} \mathbb{P}(X\geqslant a)&=\mathbb{P}(X>a)=1-F_{\sssig X}(a)\\[0.45em] &=1-F_{\sssig X}(2)=\int_{4}^{6}\frac{1}{\,4\,}\,dx=\frac{1}{\,2\,} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\mathbb{P}(X\geqslant a)=\mathbb{P}(X>a)\\[0.45em] &\quad =1-F_{\sssig X}(a)=1-F_{\sssig X}(2)\\[0.45em] &\quad =\int_{4}^{6}\frac{1}{\,4\,}\,dx=\frac{1}{\,2\,} \end{aligned}\]

故 $[2, 4]$ 之間的任意實數皆為 $X$ 之母體中位數。

Example 2.14 (Continued)

Let $Y$ denote the length of life (in hundreds of hours) of electronic components. These components frequently fail immediately upon insertion into a system. It has been observed that the probability of immediate failure is $\frac{1}{4}$. If a component does not fail immediately, the distribution for its length of life has the exponential density function

\[g(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} e^{-y}, & y>0\\[0.4em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]

Find the first quartile of $Y$.

(4) 由第 (1) 小題已求得 $Y$ 的 cdf 為

\[F_{\sssig Y}(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & y<0\\[0.5em] 1-\dfrac{3}{4}e^{-y}, & y\geqslant0 \end{array} \right.\]

再由 Definition 2.11 可知

\[F_{\sssig Y}(Q_1)=1-\frac{3}{4}e^{-Q_1}=\frac{1}{4}\]

故所求為

\[Q_1=0\]

Note

上面以解方程式 $F_{\sssig Y}(Q_1)=\frac{1}{4}$ 求第一四分位數，這個作法對混合型並不通用。$Y$ 在 $y=0$ 有一個機率為 $\frac{1}{4}$ 的質點，$F_{\sssig Y}$ 在該處由 $0$ 跳到 $\frac{1}{4}$；cdf 一有跳躍，$F_{\sssig Y}(y)=p$ 這個方程式就未必有解，即使有解也未必唯一。一般的作法是回到 Definition 2.11 的兩個不等式，或改用前面 (2) 所給的找法，此即

\[Q_1=\inf\left\lbrace y\in\mathbb{R}\;\middle|\;F_{\sssig Y}(y)\geqslant\frac{1}{4}\right\rbrace\]

本題的跳躍恰好停在 $\frac{1}{4}$ 這個高度上，方程式的唯一解與上式的下確界因而同為 $Q_1=0$，兩種作法給出相同的答案。

本篇小結

Definition 2.11 給了分位數的兩種定義。第一種以比例 $p$ 為準，若 $x_{\sssig p}$ 同時滿足 $\mathbb{P}(X\leqslant x_{\sssig p})\geqslant p$ 與 $\mathbb{P}(X\geqslant x_{\sssig p})\geqslant1-p$，則稱它為 $p$-分位數；第二種以等分數 $q$ 為準，把 $p$ 換成 $\frac{k}{q}$，所得的 $q_{\sssig k}$ 稱為第 $k$ 個 $q$-分位數。分位數與中位數一樣未必唯一，取 $\inf\lbrace x\in\mathbb{R}\mid F_{\sssig X}(x)\geqslant p\rbrace$ 可以找到其中一個；若 $F_{\sssig X}$ 連續且於值域上嚴格遞增，這個值就是 $F^{-1}_{\sssig X}(p)$，而且是唯一的一個。

兩種定義各有一個直觀意涵。Fig. 2.15 對應第一種。分位數把分配切成前後兩段，前段佔全部的 $p$、後段佔全部的 $1-p$。Fig. 2.16 對應第二種。$q-1$ 個分位數把分配均分為 $q$ 個等份，$q_{\sssig k}$ 是第 $k$ 份與第 $k+1$ 份的分界點。設定 $q=4$、$q=10$ 與$q=100$，便分別得到四分位數 $Q_{\sssig k}$、十分位數 $D_{\sssig k}$ 與百分位數 $P_{\sssig r}$，三者在 $P_{50}=D_5=Q_2=\eta_{\sssig X}$ 這一點上會合。

五道例題涵蓋三種型態: Example 2.23 是離散型，直接由定義的兩個不等式驗證；Example 2.24 與 Example 2.25 是連續型，先求 cdf 再解方程式；Example 2.26 的密度在 $[2, 4]$ 上為零，該區間內的每一個實數都是中位數，是中位數不唯一的實例；Example 2.14 (Continued) 則是混合型，第一四分位數落在質點 $0$ 上。至此，期望值、變異數、標準差、眾數、中位數與分位數這幾個量數都已介紹完畢，下一節要把其中的期望值與變異數收進同一套架構之下，也就是動差系統。

參考文獻與延伸閱讀

黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
Morris H. DeGroot and Mark J. Schervish. 2012. Probability and Statistics. 4th ed. Pearson.
Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, and Duane C. Boes. 1974. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed. McGraw-Hill.
Robert V. Hogg, Joseph W. McKean, and Allen T. Craig. 2019. Introduction to Mathematical Statistics. 8th ed. Pearson.