機率公理及其推論
Probability Rules Derived from the Axioms
上一篇整理了域、$\sigma$-域與機率空間。藉由機率公理，我們能夠衍伸出一些相當有用的機率等式與不等式，下面就從單一事件所構成的一些式子開始說明起。
虛無事件的機率
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，則
\[\mathbb{P}(\varnothing)=0\]Proof. 令 $A_1=S$，$A_2=A_3=\cdots=\varnothing$，則 $A_i\in\mathcal{F}$ 對所有 $i\in\mathbb{N}$ 成立，$A_i\cap A_j=\varnothing$ 對所有 $i\neq j$ 成立，且
\[\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=S\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots=S\]由可數可加性 (Axiom 3) 可知
兩邊消去 $\mathbb{P}(S)$，可得 $\sum_{i=2}^{\infty}\mathbb{P}(\varnothing)=0$；又由 Axiom 1 知 $\mathbb{P}(\varnothing)\geqslant 0$，故
\[\mathbb{P}(\varnothing)=0\]原式得證。 $\square$
在隨機實驗、樣本空間與事件中我們曾經提到，虛無事件 (null event) 是一個一定會出現在任何樣本空間 $S$ 中的事件；事實上，它也一定會出現在任何佈於 $S$ 上的 $\sigma$-域 $\mathcal{F}$ 中。但究其意義，它代表的是「不可能發生的事件」，因為任何樣本空間的樣本點都不會落於其中。這樣的事件其機率為 $0$，相當符合我們的直觀。
若投擲一公正骰子，令 $A$ 表出現點數為偶數點之事件、$B$ 表出現點數為奇數點之事件，試回答下列問題:
(1) 分別求出 $\mathbb{P}(A)$ 與 $\mathbb{P}(B)$。
(2) 若 $C$ 表示出現點數既為奇數又為偶數之事件，試求 $\mathbb{P}(C)$。
以下依序求解。
(1) 樣本空間為 $S=\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace$，由題意知 $A=\lbrace2,4,6\rbrace$，$B=\lbrace1,3,5\rbrace$，且骰子為公正骰子，故依古典機率之定義可知
(2) 依題意知 $C=A\cap B=\lbrace\,\rbrace=\varnothing$，故
\[\mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(\varnothing)=0\]Example 1.10 (1) 使用了古典機率的定義。在機率空間的定義中我們曾提到，公理化機率系統並沒有說明機率應該如何被測度，只說明機率應該具備的性質。這一點顯示，公理化機率並不與古典機率相抵觸，因為古典機率是以如何測度某事件的機率來定義的，二者並沒有衝突。
Example 1.10 (2) 的答案，讀者應可不必計算即知道其機率為 $0$，因為這原先就是一個「不可能發生的事件」，故直覺上其發生的機率為 $0$。然而，這個敘述的逆命題卻未必為真，換言之，即「機率為 $0$ 的事件未必不可能發生」。以 Theorem 1.3 來思考此一觀點，即為「$\mathbb{P}(\varnothing)=0$，但機率為 $0$ 的事件卻未必是 $\varnothing$」。此一概念在下一章談到隨機變數中的連續型變數將會更為清晰，但讀者不妨在此思考一個例子: 有一魔術表演專用的硬幣，有正反二面，但不論如何丟擲，最後都必定會呈現正面朝上，則丟出反面的機率是 $0$ (因為必然不會發生)，但丟出反面的事件卻不是 $\varnothing$，而是 $\lbrace\mathrm{T}\rbrace$。
從 Theorem 1.3 可以發現，不可能發生的事件機率一定為 $0$。除了符合我們的直覺以外，這個定理還能引導出可數可加性的一個比較弱的版本，也就是有限可加性 (finite additivity)。
有限可加性
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，若 $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$，且 $A_i\cap A_j=\varnothing$ 對所有 $i\neq j$ 成立，則
\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)\]Proof. 對所有 $k>n$ 令 $A_k=\varnothing$，即 $A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots=\varnothing$，如此一來仍有 $A_i\cap A_j=\varnothing$ 對所有 $i\neq j$ 成立，且
\[\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\bigcup_{i=1}^{n}A_i\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots=\bigcup_{i=1}^{n}A_i\]由可數可加性 (Axiom 3) 與 $\mathbb{P}(\varnothing)=0$ 可知
原式得證。 $\square$
有限可加性又被稱作可加性 (additivity)，是一個很有用的性質，特別是在探討有限個成對互斥集合間的機率關係時，我們可以不用每次都令一堆多餘的空集合，而只需要關注有限個集合本身的情況。
特別之處在於，我們常常會說有限可加性相較於可數可加性，是一個比較弱 (weak) 的性質，其理由正是源於上面的證明，因為可數可加性可以直接導致有限可加性的成立。
此外，如果一隨機實驗的結果只有有限多種 (即 $S$ 有限)，則任一佈於 $S$ 上的域 $\mathcal{F}$ 也會是有限的；此時，機率公理中的 Axiom 3 即使只滿足有限可加性，也足夠應付所有的狀況。
機率的範圍與餘事件公式
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，$A\in\mathcal{F}$ 為一事件，則
(1) 機率的範圍:
\[\mathbb{P}(A)\leqslant 1\](2) 餘事件公式:
\[\mathbb{P}(A^{\prime})=1-\mathbb{P}(A)\]Proof. (1) 由 $A\cup A^{\prime}=S$ 且 $A\cap A^{\prime}=\varnothing$，再由 Axiom 2 與有限可加性可知
\[\mathbb{P}(S)=\mathbb{P}(A\cup A^{\prime})=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^{\prime})=1\]又由 Axiom 1 可知 $\mathbb{P}(A^{\prime})\geqslant 0$，故
\[\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A^{\prime})\leqslant 1\](2) 由 (1) 之證明可知 $\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A^{\prime})$，移項即得
\[\mathbb{P}(A^{\prime})=1-\mathbb{P}(A)\]原式得證。 $\square$
Theorem 1.5 (1) 把一個機率的範圍給了明確的限制。讀者應該記得，機率公理的非負性 (Axiom 1) 只有指出機率不得為負的，卻沒有說「機率至多只能是 $1$」。這是因為公理不需要證明其為真，故數學家通常追求在最少的公理之上建構整套理論，正是因此，機率公理中才沒有寫出這一點。
餘事件公式其實相當直觀，用文氏圖可以立刻想通:
這個概念很簡單，但卻是計算餘事件機率的相當實用的算法，往後我們會經常用到此結果。
讀者在這個階段會發現，這些關於機率的基礎性質，不過就是基於機率三大公理，以及過往我們所知道的一些集合關係，加以推導而得到的。整個機率論，便是基於這些看似簡單的基礎，透過層層堆疊而得，故讀者更應將基礎的重要性謹記於心。
接下來，我們將探討兩個事件間的機率關係。一如前面使用集合算子，來討論集合與集合間 (事件與事件間) 的關係，我們同樣可以在機率函數上，探討不同事件間的關係。
全機率定理與加法原理
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，$A,B\in\mathcal{F}$ 為二事件，則
(1) 全機率定理 (the law of total probability):
(2) 加法原理 (addition rule):
\[\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\]Proof. (1) 由 $B=B\cap S$ 且 $S=A\cup A^{\prime}$，依分配律可知
\[B=B\cap(A\cup A^{\prime})=(B\cap A)\cup(B\cap A^{\prime})\]又由於 $A\cap A^{\prime}=\varnothing$，所以
\[(B\cap A)\cap(B\cap A^{\prime})=B\cap(A\cap A^{\prime})=\varnothing\]由有限可加性可知
移項即得
\[\mathbb{P}(B\cap A^{\prime})=\mathbb{P}(B-A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(B\cap A)\]移項即得
\[\begin{aligned} \mathbb{P}(B\cap A^{\prime})&=\mathbb{P}(B-A)\\[0.4em] &=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(B\cap A) \end{aligned}\](2) 由 $A\cup B=(A\cap B^{\prime})\cup(A\cap B)\cup(A^{\prime}\cap B)$，且三者兩兩互斥:
由有限可加性可知
其中最後一步由 (1) 可知。 $\square$
全機率定理其實更常被寫為 $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(A^{\prime}\cap B)$，也就是指，$B$ 的機率被分為有 $A$ 的部分與沒有 $A$ 的部分。這個表示法背後隱含的直覺為「任何事件都可被樣本空間的一組分割 (partition) 切成很多沒有交集的部分」；分割的概念在稍後的文章會有詳盡的介紹，讀者在此可將其想像為一種「各組間不重疊的分類方式」。其概念如下圖:
加法原理的證明漂亮地使用了全機率定理的結果。但事實上，如果對照聯集與交集的文氏圖，則加法原理本身也有非常直觀的圖例可以使用:
這張圖顯示，$A\cup B$ 的機率，事實上可以直接將 $A$ 的機率與 $B$ 的機率相加，再將其重複的部分 (也就是 $A\cap B$ 的機率) 扣除即可。
加法原理與全機率定理都有其應用上的特例，我們首先從加法原理開始。
注意到，當 $A$ 與 $B$ 互斥 (即 $A\cap B=\varnothing$) 時，由 Theorem 1.3 得到 $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$，因為交集部分的機率為 $0$。
讀者應該會對這個情況感到熟悉，因為這個情況正好與加集和有限可加性的前提相同，也就是 $A\cup B=A+B$，則由有限可加性，我們有
\[\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A+B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)\]這也是機率空間一篇提到的線性的特例。
全機率定理則是在當 $A$ 是 $B$ 的一個子集 (亦即 $A\subseteq B$) 時，會有一較為特殊的結果，這個結果是
\[\mathbb{P}(B-A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)\]其理由是，當 $A\subseteq B$ 時，$A\cap B=A$。證明此特例並不困難，讀者應可自行將全機率定理中的 $A\cap B$ 改寫為 $A$ 得到，我們僅以圖形說明此結果。
上圖可以發現 $A\cap B$ 就是 $A$ 本身，故 $\mathbb{P}(A^{\prime}\cap B)$ 可用 $\mathbb{P}(B)$ 直接扣除 $\mathbb{P}(A)$ 得到。這個結果只是全機率定理的一個小特例，但是我們卻可以從這裡來驗證一個非常直觀的結果，即機率的單調性 (monotonicity)。
單調性
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，$A,B\in\mathcal{F}$ 且 $A\subseteq B$，則
\[\mathbb{P}(A)\leqslant\mathbb{P}(B)\]Proof. 由於 $A\subseteq B$，故 $B=(B-A)\cup A=(B-A)+A$，由有限可加性可知
\[\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B-A)+\mathbb{P}(A)\]又由 Axiom 1 可知 $\mathbb{P}(B-A)\geqslant 0$，故 $\mathbb{P}(B)\geqslant\mathbb{P}(A)$，即
\[\mathbb{P}(A)\leqslant\mathbb{P}(B)\]原式得證。 $\square$
單調性的直觀意義是，比較小的集合，機率比較小。這裡需要特別注意的地方是，我們沒辦法對任意兩個集合比大小，除非這兩個集合有彼此包含的關係，因此可以看出為何單調性需要 $A\subseteq B$ 的前提。
值得注意的是，我們可以將單調性進行一個簡單的延伸應用: 由 $(A\cap B)\subseteq A$ 與 $(A\cap B)\subseteq B$，可以推知
\[\mathbb{P}(A\cap B)\leqslant\mathbb{P}(A),\qquad \mathbb{P}(A\cap B)\leqslant\mathbb{P}(B)\]這兩種情況的直觀詮釋為: 對 $A$ (或 $B$) 給了更多限制 (使之與 $B$ (或 $A$) 交集)，只會讓機率變得更小 (頂多維持不變)。
加法原理與全機率定理皆可推廣至三個以上的集合彼此間的狀況，其中全機率定理的推廣版本是貝氏定理 (Bayes’ rule) 的基礎，將在稍後的文章有詳盡的敘述。
廣義加法原理與排容原理
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，$A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$，且令
一般而言，$S_k$ 是所有「$k$ 個事件交集的機率」之總和。則
(1) 當 $n$ 為奇數:
(2) 當 $n$ 為偶數:
Proof. 見黃文璋 (2010)，《機率論》，二版，頁 39。 $\square$
在理解此定理時，建議讀者先以 $n=3$ 作為例子，並繪製出三個集合的文氏圖，協助理解其意義。其直觀的精神，仍然在於「扣除重複的部分」，只是三個以上的集合會遇到需要「加回多扣的部分」的狀況。
廣義加法原理的內容，與組合數學 (combinatorics) 中的排容原理 (inclusion-exclusion principle) 是相同的，排容原理的機率版本，就是廣義加法原理。
廣義的組合數學即為離散數學 (discrete mathematics)，其細部的差異在此並不探究。組合數學主要用以研究可數或離散空間中的數學問題，其中幾個著名的問題包含地圖著色問題與渡河問題；臺灣的高中數學所教授的排列組合，即是組合數學中的一個重要領域。
在部分機率論專書中，廣義加法原理時常以
\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}S_k\]的形式出現，並且被稱作龐加萊 (Poincaré) 公式。這個版本的寫法與 Theorem 1.8 完全相同，但較為簡潔，且對所有 $n\in\mathbb{N}$ 都成立，不需要考慮 $n$ 為奇數或偶數。
經由加法原理，我們可以得到兩個著名的不等式，即布爾不等式 (Boole’s inequality) 及邦佛洛尼不等式 (Bonferroni’s inequality)，以下就將兩個不等式分開討論。
布爾不等式
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，$A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$，則
(1) 兩事件的情況:
\[\mathbb{P}(A_1\cup A_2)\leqslant\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)\](2) 推廣至 $n$ 個事件:
\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)\]Proof. (1) 由加法原理知
\[\mathbb{P}(A_1\cup A_2)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)-\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\]又 $\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\geqslant 0$，故
Proof. (1) 由加法原理知
\[\begin{aligned} \mathbb{P}(A_1\cup A_2)&=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)\\[0.4em] &\quad-\mathbb{P}(A_1\cap A_2) \end{aligned}\]又 $\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\geqslant 0$，故
(2) 由 (1) 知道 $n=2$ 時原式顯然成立。又令 $n=k$ 時原式成立，即
\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)\leqslant\sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}(A_i)\]則當 $n=k+1$ 時，由 (1) 可知
由數學歸納法與 (1) 可知，原式對所有 $n\in\mathbb{N}$ 皆成立。 $\square$
若將布爾不等式與加法原理相比較，不難發現這個不等式的直觀邏輯在於，「不等式右邊的交集部分的機率沒有被扣除」，所以右式總是會比左式來得大，也就是如下的圖示:
我們只是在加法原理中，不將右側的交集機率扣除而已。其中，等式發生的情況發生在這組事件彼此為互斥事件，而這個情況，正好是加集與有限可加性的前提。
邦佛洛尼不等式
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，$A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$，則
(1) 兩事件的情況:
\[\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\geqslant\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)-1\](2) 推廣至 $n$ 個事件:
\[\mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)\geqslant\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-(n-1)\]Proof. (1) 由加法原理知
\[\mathbb{P}(A_1\cup A_2)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)-\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\]移項可得
Proof. (1) 由加法原理知
\[\begin{aligned} \mathbb{P}(A_1\cup A_2)&=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)\\[0.4em] &\quad-\mathbb{P}(A_1\cap A_2) \end{aligned}\]移項可得
又由 $\mathbb{P}(A_1\cup A_2)\leqslant 1$，故
\[\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\geqslant\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)-1\](2) 由 (1) 知道 $n=2$ 時原式顯然成立。又令 $n=k$ 時原式成立，即
\[\mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{k}A_i\right)\geqslant\sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}(A_i)-(k-1)\]則當 $n=k+1$ 時，由 (1) 可知
由數學歸納法與 (1) 可知，原式對所有 $n\in\mathbb{N}$ 皆成立。 $\square$
邦佛洛尼不等式的右式，常被改寫為 $1-\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i^{\prime})$，作法是把每個 $\mathbb{P}(A_i)$ 都改為 $1-\mathbb{P}(A_i^{\prime})$。
這個版本的邦佛洛尼不等式，更容易看出其直觀。以 $n=2$ 為例 (即 Theorem 1.10 中的 (1) 式)，其直覺在於「不等式右邊的重複部分的機率 (也就是 $\mathbb{P}(A_1^{\prime}\cap A_2^{\prime})$) 被重複扣除了」，如下圖:
其關鍵就在於 $\mathbb{P}(A_1^{\prime}\cap A_2^{\prime})$ 被重複扣除 (且有可能會扣成負的)。而等號成立的條件在於，$A_1$ 與 $A_2$ 沒有同時不成立的部分的時候。這個特例的情況有很多種，但必定是發生在 $A_1$ 與 $A_2$ 的聯集就已經「填滿」樣本空間的情況，也就是 $A_1\cup A_2=S$ 時；而且這個條件與布爾不等式的等號成立條件其實有關係，讀者不妨思考看看。
兩不等式的等價性
事實上我們應可以發現，布爾不等式與邦佛洛尼不等式的出發點同為加法原理，只是一者以聯集為出發，而一者以交集為出發。細心一點的讀者可能在此提問: 這兩個不等式等價 (equivalent) 嗎？這個問題的答案是肯定的，我們在此以狄摩根律證明。
證明中將使用的不失一般性 (without loss of generality，或簡稱 WLOG)，是數學證明中的一種常用表示法，其最主要的目的是用來表示，在這個條件下所假設的東西足以代表一般的所有狀況，而非僅是一個特例。
Proof. 令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，不失一般性假設 $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$，且令布爾不等式成立，即
\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)\]此式成立，若且唯若
其中，由 $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$ 知道 $A_1^{\prime},\ldots,A_n^{\prime}\in\mathcal{F}$，且
\[\mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i^{\prime}\right)\geqslant\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i^{\prime})-(n-1)\]即邦佛洛尼不等式。故可知道布爾不等式成立，若且唯若邦佛洛尼不等式成立，二者為等價不等式。 $\square$
If the sample space is $S=C_1\cup C_2$ and if $\mathbb{P}(C_1)=0.8$ and $\mathbb{P}(C_2)=0.5$, find $\mathbb{P}(C_1\cap C_2)$.
由加法原理知
又由 Axiom 2 知 $\mathbb{P}(S)=\mathbb{P}(C_1\cup C_2)=1$，故
移項可得
\[\mathbb{P}(C_1\cap C_2)=0.8+0.5-1=0.3\](1) Suppose that two events $A$ and $B$ cannot occur at the same time. Under what condition is the same true of their complements $A^{\prime}$ and $B^{\prime}$?
(2) Suppose that $A_1$, $A_2$, and $A_3$ are events with $\mathbb{P}(A_i)=\frac{1}{4+i}$ for $i=1,2,3$. Find a lower bound for the probability that none of the three occurs.
以下依序求解。
(1) 由 $A$ 與 $B$ 互斥可知 $A\cap B=\varnothing$。又 $A^{\prime}$ 與 $B^{\prime}$ 互斥，即要求
\[A^{\prime}\cap B^{\prime}=(A\cup B)^{\prime}=\varnothing\]故所求條件為
\[A\cup B=S\](2) 將邦佛洛尼不等式的改寫形式套用於 $A_1^{\prime},A_2^{\prime},A_3^{\prime}$，可知
單調事件序列的機率極限
令 $(S,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 為一機率空間，$A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$。
(1) 若 $\lbrace A_i\rbrace$ 為非遞減序列，則
(2) 若 $\lbrace A_i\rbrace$ 為非遞增序列，則
Proof. (1) 由於 $\lbrace A_i\rbrace$ 非遞減，故依單調集合序列的定義可知
\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\]另外定義 $\lbrace B_i\rbrace$，滿足
\[B_1=A_1,\qquad B_k=A_k-A_{k-1},\quad k\geqslant 2\]則 $\lbrace B_i\rbrace$ 兩兩為互斥事件，且
\[\begin{gathered} A_k=\bigcup_{i=1}^{k}B_i\\[0.4em] \mathbb{P}(B_i)=\mathbb{P}(A_i)-\mathbb{P}(A_{i-1}),\quad i\geqslant 2 \end{gathered}\]此外，又因 $\lbrace A_i\rbrace$ 非遞減，可知
\[\bigcup_{i=1}^{k}A_i=A_k=\bigcup_{i=1}^{k}B_i\]由此可得
\[\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i=\sum_{i=1}^{\infty}B_i\]注意此處之 $\lbrace B_i\rbrace$ 兩兩為互斥事件，由可數可加性可知
原式得證。
(2) 由於 $\lbrace A_i\rbrace$ 非遞增，故依單調集合序列的定義可知
\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\]此外，$\lbrace A_i^{\prime}\rbrace$ 為非遞減序列。由狄摩根律與非遞減序列的定義可知
故合併 (1) 的結果，我們有
原式得證。 $\square$
本篇小結
本篇由三大公理出發，依序推得下列結果:
| 結果 | 內容 |
|---|---|
| Theorem 1.3 | $\mathbb{P}(\varnothing)=0$ |
| Theorem 1.4 | 有限可加性 |
| Theorem 1.5 | $\mathbb{P}(A)\leqslant 1$ 與餘事件公式 |
| Theorem 1.6 | 全機率定理與加法原理 |
| Theorem 1.7 | 單調性 |
| Theorem 1.8 | 廣義加法原理 (排容原理) |
| Theorem 1.9 與 Theorem 1.10 | 布爾與邦佛洛尼不等式 (等價) |
| Theorem 1.11 | 單調事件序列的機率極限 |
加法原理與全機率定理皆可推廣至三個以上的集合彼此間的狀況，其中全機率定理的推廣版本是貝氏定理的基礎。下一篇要談條件機率與乘法原理，便從「已知某事件發生」如何改變機率談起。
參考文獻與延伸閱讀
- 黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
- Sheldon Ross. 2019. A First Course in Probability. 10th ed. Pearson.
- Emanuel Parzen. 1960. Modern Probability Theory and Its Applications. Wiley.
- Alan Hájek. 2019. “Interpretations of Probability.” In The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Fall 2019 ed., edited by Edward N. Zalta.