混合型隨機變數
Mixed Random Variables
到目前為止，我們把隨機變數分為離散型與連續型兩類: 離散型以機率質量函數記錄每一個質點的單點機率，其 cdf 是在質點上跳躍的階梯函數；連續型以機率密度函數描述機率的疏密，任一單點的機率皆為 $0$，其 cdf 因而處處連續。
這兩類並沒有涵蓋所有的隨機變數。有些隨機變數的 cdf 既有跳躍，也有連續上升的部分，離散型與連續型的特性同時出現在同一個變數上。以下便介紹這一類隨機變數，以及把它拆解為離散與連續兩個部分的分解定理。
有一部分隨機變數，並不純粹是離散型隨機變數，亦不純粹是連續型隨機變數。其同時具備離散型隨機變數中具有單點機率，及連續型隨機變數中機率函數不是機率，這兩種重要的特性。我們將這種隨機變數稱作混合型隨機變數 (mixed random variable)。
Suppose that the distribution function of a random variable $X$ is given by
\[F_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & \text{for }x<0\\[0.4em] 1-0.8e^{-x}, & \text{for }x\geqslant0 \end{array} \right.\]Find the corresponding density function.
由 cdf 在 $x=0$ 的跳躍高度可得
故
混合型隨機變數，可以看成是由一個完整的離散型隨機變數，與一個完整的連續型隨機變數，經由線性組合而得，這一點不論在 pdf 或是 cdf 都通用。以上面的例子而言，我們可以將其 cdf 寫為
\[F_{\sssig X}(x)=0.2\times F_{\sssig d}(x)+0.8\times F_{\sssig c}(x)\]其中，離散部分的 cdf 為
\[F_{\sssig d}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x<0\\[0.4em] 1, & x\geqslant0 \end{array} \right.\]連續部分的 cdf 為
\[F_{\sssig c}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x<0\\[0.4em] 1-e^{-x}, & x\geqslant0 \end{array} \right.\]在上面的拆解中，可以發現 $F_{\sssig d}(x)$ 與 $F_{\sssig c}(x)$ 分別是正規的離散型 cdf 與連續型 cdf。事實上，這裡的離散 cdf 與連續 cdf，及其線性組合的係數都是唯一的，這一點即下列定理所要陳述的內容。
若 $X$ 為一隨機變數，且 $F_{\sssig X}(x)$ 為其 cdf，則其可分解為
其中，$F_{\sssig d}(x)$ 表一離散隨機變數的 cdf，$F_{\sssig c}(x)$ 表一處處連續的 cdf；當 $0<\alpha<1$ 時，此分解必定唯一。
上列定理只說 $F_{\sssig c}(x)$ 是一個處處連續的 cdf，並沒有說它是連續型隨機變數的 cdf，兩者不是同一件事情。依 Definition 2.2，連續型隨機變數是以積分判準界定的: 要存在一個非負且可積分的函數，使 $\mathbb{P}(X\leqslant x)$ 能寫成該函數的積分。而稍後第 (3) 步的建構，只保證 $F_{\sssig c}(x)$ 處處沒有跳躍，並不保證這樣的函數存在；處處連續卻找不到密度函數的 cdf 確實存在，此時 $F_{\sssig c}(x)$ 仍是一個合格的 cdf，卻不是連續型隨機變數的 cdf。至於本篇兩個例子中的 $F_{\sssig c}(x)$，都是指數分配的 cdf，密度函數存在，屬於連續型隨機變數的 cdf。
在進行分解的過程中，可先尋找線性組合的係數 $\alpha$，這個係數將等於離散質點的機率總和，在 Example 2.13 中，即為
\[\alpha=0.2\]整體而言，尋找 $\alpha, F_{\sssig d}(x), F_{\sssig c}(x)$ 的步驟如下:
(1) 令 $x_1<x_2<\cdots$ 表該分配之所有離散質點，對應之機率分別為 $p_1,p_2,\ldots$；質點的個數可能是有限的 $k$ 個，也可能是可數無限多個。不論何者，$\alpha$ 都是對所有質點的機率求和，即
\[\alpha=\sum_{i}p_i\]並令 $F_{\sssig 1}(x)$ 表所有不超過 $x$ 的質點之機率總和，即
\[F_{\sssig 1}(x)=\sum_{x_i\leqslant x}p_i\]質點只有有限的 $k$ 個時，逐段寫開即為
\[F_{\sssig 1}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x<x_1\\[0.4em] p_1, & x_1\leqslant x<x_2\\[0.4em] p_1+p_2, & x_2\leqslant x<x_3\\[0.4em] \vdots & \\[0.4em] \sum_{i=1}^{k}p_i, & x\geqslant x_k \end{array} \right.\]質點有可數無限多個時，各段依 $x_1<x_2<\cdots$ 逐段延續下去，沒有 $x\geqslant x_k$ 那一段，$F_{\sssig 1}(x)$ 隨 $x$ 增大而趨近 $\alpha$。以 $x_1<x_2<\cdots$ 列出質點，已經假定它們排得成遞增序列；質點落在有理數上時排不出這樣的序列，逐段寫開的階梯式也就不存在，但 $F_{\sssig 1}(x)=\sum_{x_i\leqslant x}p_i$ 不依賴排序，這種情形下仍然成立。
(2) $F_{\sssig 1}(x)$ 未必為一 cdf，則可令
\[F_{\sssig d}(x)=\frac{1}{\alpha}\,F_{\sssig 1}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x<x_1\\[0.6em] \dfrac{p_1}{\alpha}, & x_1\leqslant x<x_2\\[0.6em] \vdots & \\[0.6em] 1, & x\geqslant x_k \end{array} \right.\]上式由各段同除以 $\alpha$ 而得，寫的同樣是質點個數有限的情形；質點有可數無限多個時也沒有 $x\geqslant x_k$ 那一段，$F_{\sssig d}(x)$ 隨 $x$ 增大而趨近 $1$。此即離散型 cdf。
(3) 令 $F_{\sssig 2}(x)=F_{\sssig X}(x)-F_{\sssig 1}(x)$，則 $F_{\sssig 2}(x)$ 未必為一 cdf，可令
\[F_{\sssig c}(x)=\frac{1}{1-\alpha}\,F_{\sssig 2}(x)\]此即處處連續的 cdf。
事實上，讀者將會發現，實際上在拆解的流程，並不是先知道 $F_{\sssig d}(x)$ 與 $F_{\sssig c}(x)$ 為何，而是先尋找 $\alpha$，再將 $F_{\sssig 1}(x)$ 與 $F_{\sssig 2}(x)$ 這二個未必是 cdf 的函數，進行修正而得。
讀者應該沒有忘記，Theorem 2.1 (cdf 的性質) 中指出，任何的 cdf (不論離散或連續)，其函數值都是從 $0$ 開始，而以 $1$ 結尾，因此需要進行修正，才能夠將其變為正規的 cdf。
這其中的特例如下:
[ 當 $\alpha=0$ 時 ]
\[F_{\sssig X}(x)=F_{\sssig c}(x)\]此即 $X$ 為一個純粹的連續型隨機變數。
[ 當 $\alpha=1$ 時 ]
\[F_{\sssig X}(x)=F_{\sssig d}(x)\]此即 $X$ 為一個純粹的離散型隨機變數。
上列三個步驟中，第 (2) 步除以 $\alpha$、第 (3) 步除以 $1-\alpha$，故三個步驟以 $0<\alpha<1$ 為前提。$\alpha=0$ 與 $\alpha=1$ 這兩個特例，直接由本則的兩個等式得到。
若想親手安排離散與連續兩個部分，可以參考互動展示 Mixed distributions。它讓讀者自行加入質點與其機率，觀察 cdf 在各質點躍升的高度恰為該點的機率，連續的部分則佔 $1-\alpha$ 的權重。
分解定理的概念，並不僅限於 cdf 的分解，其同樣適用於混合型 pdf 的分解，下面我們就來看一個這樣的例子。
Let $Y$ denote the length of life (in hundreds of hours) of electronic components. These components frequently fail immediately upon insertion into a system. It has been observed that the probability of immediate failure is $\frac{1}{4}$. If a component does not fail immediately, the distribution for its length of life has the exponential density function
\[g(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} e^{-y}, & y>0\\[0.4em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]- Find the pdf and cdf of $Y$, also evaluate $\mathbb{P}(Y>1)$.
由於元件有 $\frac{1}{4}$ 的機率在裝上系統時馬上就壞掉，故我們可以假設
\[f_{\sssig d}(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 1, & y=0\\[0.4em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]表示馬上壞掉的元件的壽命分配，即離散部分的 pmf，並且由題意知道
\[f_{\sssig c}(y)=g(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} e^{-y}, & y>0\\[0.4em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]表示不會馬上壞掉的元件的壽命分配，即連續部分的 pdf。
則整體元件的壽命分配可以視為二種分配的線性組合，且混合比例為 $\frac{1}{4}$，此即
cdf 亦可以用二種類型的 cdf 經由線性組合得到，故先算出
\[\begin{gathered} F_{\sssig d}(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & y<0\\[0.4em] 1, & y\geqslant0 \end{array} \right.\\[1em] F_{\sssig c}(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & y<0\\[0.4em] 1-e^{-y}, & y\geqslant0 \end{array} \right. \end{gathered}\]且以此進行線性組合得到
則
本篇小結
混合型隨機變數同時具備離散型與連續型的特性: 它在某些單點上有正機率，其 cdf 在該處跳躍；在其餘的範圍則以密度描述機率的疏密，機率函數的值不是機率。Example 2.13 的 $F_{\sssig X}$ 即為一例，它在 $x=0$ 跳躍 $0.2$，其後沿 $1-0.8e^{-x}$ 連續遞增。
Theorem 2.7 指出，任一個 cdf 都可以寫成 $\alpha\,F_{\sssig d}(x)+(1-\alpha)\,F_{\sssig c}(x)$ 的形式，其中 $F_{\sssig d}$ 為一離散隨機變數的 cdf、$F_{\sssig c}$ 為一處處連續的 cdf，且當 $0<\alpha<1$ 時這樣的分解必定唯一。實際拆解時先求 $\alpha$，它等於所有離散質點的機率總和，再把 $F_{\sssig 1}$ 與 $F_{\sssig 2}$ 這兩個未必是 cdf 的函數，分別除以 $\alpha$ 與 $1-\alpha$ 修正而得。同樣的分解也適用於 pdf，Example 2.14 便以 $\frac{1}{4}$ 與 $\frac{3}{4}$ 為權重，把元件壽命的分配寫成離散部分與連續部分的線性組合。
下一節開始討論隨機變數的期望值、變異數、標準差與其他量數，先由其中的期望值談起。
參考文獻與延伸閱讀
- 黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
- Vijay K. Rohatgi and A. K. Md. Ehsanes Saleh. 2015. An Introduction to Probability and Statistics. 3rd ed. Wiley.
- Kai Lai Chung. 2001. A Course in Probability Theory. 3rd ed. Academic Press.
- Patrick Billingsley. 1995. Probability and Measure. 3rd ed. Wiley.