上一篇給出變異數的定義、計算公式、函數變異數與兩項性質，並以兩道例題示範計算。本篇接著看三道例題。一道是隨機變數之間的線性關係，一道的密度函數分段定義，一道則是混合型隨機變數。
三道例題之後，我們回頭補上期望值的一項重要特性。在所有的實數之中，期望值是使平方離差的期望值達到最小的那一個。接著討論在只知道期望值與變異數的情形下，如何以泰勒級數展開求出 $g(X)$ 的期望值與變異數的近似值。最後介紹標準差。它是變異數開根號之後的量數，單位與期望值相同，性質可以直接由變異數的性質承接而來。
Example 2.19
Suppose that $X$ denotes the number of customer visits recorded in a study of visits and income, and that the variance of $X$ is $0.81$. The income associated with the number of visits is $W=449+0.25X$.
- Find the variance of the income $W$.
(1) 由 Theorem 2.13 的平移不變性與平方伸縮性可知
\[\begin{aligned} \mathrm{Var}(W)&=\mathrm{Var}(449+0.25X)=0.25^{2}\times\mathrm{Var}(X)\\[0.45em] &=0.0625\times0.81=0.050625 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{Var}(W)=\mathrm{Var}(449+0.25X)\\[0.45em] &\quad =0.25^{2}\times\mathrm{Var}(X)\\[0.45em] &\quad =0.0625\times0.81=0.050625 \end{aligned}\]
Example 2.20
令隨機變數 $X$ 的 pdf 為
\[f_{\sssig X}(x)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} 0, & x<0\\[0.4em] x, & 0\leqslant x<1\\[0.4em] \dfrac{1}{2}, & 1\leqslant x<2\\[0.6em] 0, & x\geqslant2 \end{array} \right.\]
求 $X$ 之期望值與變異數。
先算出期望值為
\[\begin{aligned} \mathbb{E}(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx=\int_{0}^{1}x\cdot x\,dx+\int_{1}^{2}x\cdot\frac{1}{\,2\,}\,dx\\[0.45em] &=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{2}=\left[\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\right]+\left[\frac{2^{2}}{4}-\frac{1^{2}}{4}\right]=\frac{\,13\,}{12} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \mathbb{E}(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\int_{0}^{1}x\cdot x\,dx\\[0.2em] &\quad +\int_{1}^{2}x\cdot\frac{1}{\,2\,}\,dx\\[0.45em] &=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{2}\\[0.45em] &=\left[\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\right]\\[0.2em] &\quad +\left[\frac{2^{2}}{4}-\frac{1^{2}}{4}\right]\\[0.45em] &=\frac{\,13\,}{12} \end{aligned}\]
再算出平方期望值為
\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(X^{2}\bigr)&=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,f_{\sssig X}(x)\,dx=\int_{0}^{1}x^{2}\cdot x\,dx+\int_{1}^{2}x^{2}\cdot\frac{1}{\,2\,}\,dx\\[0.45em] &=\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{1}^{2}=\left[\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}\right]+\left[\frac{2^{3}}{6}-\frac{1^{3}}{6}\right]=\frac{\,17\,}{12} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(X^{2}\bigr)&=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,f_{\sssig X}(x)\,dx\\[0.45em] &=\int_{0}^{1}x^{2}\cdot x\,dx\\[0.2em] &\quad +\int_{1}^{2}x^{2}\cdot\frac{1}{\,2\,}\,dx\\[0.45em] &=\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{1}^{2}\\[0.45em] &=\left[\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}\right]\\[0.2em] &\quad +\left[\frac{2^{3}}{6}-\frac{1^{3}}{6}\right]\\[0.45em] &=\frac{\,17\,}{12} \end{aligned}\]
故所求的變異數為
\[\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^{2}=\frac{\,17\,}{12}-\left(\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{\,35\,}{144}\fallingdotseq0.2431\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^{2}\\[0.45em] &\quad =\frac{\,17\,}{12}-\left(\frac{13}{12}\right)^{2}\\[0.45em] &\quad =\frac{\,35\,}{144}\fallingdotseq0.2431 \end{aligned}\]
Example 2.14 (Continued)
Let $Y$ denote the length of life (in hundreds of hours) of electronic components. These components frequently fail immediately upon insertion into a system. It has been observed that the probability of immediate failure is $\frac{1}{4}$. If a component does not fail immediately, the distribution for its length of life has the exponential density function
\[g(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} e^{-y}, & y>0\\[0.4em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]
- Find the variance of $Y$.
(3) 由第 (1) 小題已知 $Y$ 為混合型隨機變數，其分配為
\[f_{\sssig Y}(y)= \left\lbrace \begin{array}{c@{\quad}l} \dfrac{1}{4}, & y=0\\[0.6em] \dfrac{3}{4}e^{-y}, & y>0\\[0.6em] 0, & \text{elsewhere} \end{array} \right.\]
則其壽命 $Y$ 的期望值為
\[\begin{aligned} \mathbb{E}(Y)&=0\times\frac{1}{4}+\int_{0}^{\infty}y\,\frac{3}{4}e^{-y}\,dy=\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty}y^{2-1}e^{-\frac{y}{1}}\,dy\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\times1^{2}\times\Gamma(2)=\frac{3}{4}\times(2-1)!=\frac{3}{4} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \mathbb{E}(Y)&=0\times\frac{1}{4}+\int_{0}^{\infty}y\,\frac{3}{4}e^{-y}\,dy\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty}y^{2-1}e^{-\frac{y}{1}}\,dy\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\times1^{2}\times\Gamma(2)\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\times(2-1)!=\frac{3}{4} \end{aligned}\]
壽命 $Y$ 的平方期望值為
\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(Y^{2}\bigr)&=0^{2}\times\frac{1}{4}+\int_{0}^{\infty}y^{2}\,\frac{3}{4}e^{-y}\,dy=\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty}y^{3-1}e^{-\frac{y}{1}}\,dy\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\times1^{3}\times\Gamma(3)=\frac{3}{4}\times(3-1)!=\frac{3}{2} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(Y^{2}\bigr)&=0^{2}\times\frac{1}{4}+\int_{0}^{\infty}y^{2}\,\frac{3}{4}e^{-y}\,dy\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty}y^{3-1}e^{-\frac{y}{1}}\,dy\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\times1^{3}\times\Gamma(3)\\[0.45em] &=\frac{3}{4}\times(3-1)!=\frac{3}{2} \end{aligned}\]
故所求的變異數為
\[\mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}\bigl(Y^{2}\bigr)-\bigl[\mathbb{E}(Y)\bigr]^{2}=\frac{3}{2}-\left[\frac{3}{4}\right]^{2}=0.9375\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}\bigl(Y^{2}\bigr)-\bigl[\mathbb{E}(Y)\bigr]^{2}\\[0.45em] &\quad =\frac{3}{2}-\left[\frac{3}{4}\right]^{2}=0.9375 \end{aligned}\]
Theorem 2.14 (期望值使平方離差的期望值最小, the mean minimizes mean squared deviation)
若 $X$ 為一隨機變數，且 $\mathbb{E}(X^{2})<\infty$，並令
\[g(a)=\mathbb{E}\bigl[(X-a)^{2}\bigr],\quad\forall\,a\in\mathbb{R}\]
則 $X$ 的期望值 $\mu_{\sssig X}$ 是使得 $g(a)$ 達到最小值的 $a$，此即
\[g(a)\geqslant g(\mu_{\sssig X}),\quad\forall\,a\in\mathbb{R}\]
Proof. 把 $X-a$ 分解成 $(X-\mu_{\sssig X})+(\mu_{\sssig X}-a)$，再由 Theorem 2.10 可知
\[\begin{aligned} g(a)&=\mathbb{E}\bigl[(X-a)^{2}\bigr]=\mathbb{E}\Bigl[\bigl[(X-\mu_{\sssig X})+(\mu_{\sssig X}-a)\bigr]^{2}\Bigr]\\[0.45em] &=\mathbb{E}\bigl[(X-\mu_{\sssig X})^{2}+2(\mu_{\sssig X}-a)(X-\mu_{\sssig X})+(\mu_{\sssig X}-a)^{2}\bigr]\\[0.45em] &=\mathbb{E}\bigl[(X-\mu_{\sssig X})^{2}\bigr]+2(\mu_{\sssig X}-a)\,\mathbb{E}\bigl(X-\mu_{\sssig X}\bigr)+(\mu_{\sssig X}-a)^{2}\\[0.45em] &=g(\mu_{\sssig X})+(\mu_{\sssig X}-a)^{2}\geqslant g(\mu_{\sssig X}) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &g(a)=\mathbb{E}\bigl[(X-a)^{2}\bigr]\\[0.45em] &\quad =\mathbb{E}\Bigl[\bigl[(X-\mu_{\sssig X})+(\mu_{\sssig X}-a)\bigr]^{2}\Bigr]\\[0.45em] &\quad =\mathbb{E}\bigl[(X-\mu_{\sssig X})^{2}\\[0.2em] &\qquad +2(\mu_{\sssig X}-a)(X-\mu_{\sssig X})\\[0.2em] &\qquad +(\mu_{\sssig X}-a)^{2}\bigr]\\[0.45em] &\quad =\mathbb{E}\bigl[(X-\mu_{\sssig X})^{2}\bigr]\\[0.2em] &\qquad +2(\mu_{\sssig X}-a)\,\mathbb{E}\bigl(X-\mu_{\sssig X}\bigr)\\[0.2em] &\qquad +(\mu_{\sssig X}-a)^{2}\\[0.45em] &\quad =g(\mu_{\sssig X})+(\mu_{\sssig X}-a)^{2}\\[0.45em] &\quad \geqslant g(\mu_{\sssig X}) \end{aligned}\]
原式得證。 $\square$
Note
這個性質在 Definition 2.6 之後的說明中就已經提過，是期望值的一個重要特性。由於期望值可以簡單視為分配的中心，故任意的位置與期望值所構成的離差 (deviation) 平方的平均，將是最小的。
這個定理的證明過程使用一個技巧，將 $X-a$ 分解為互相正交的兩個部分，分別是 $X-\mu_{\sssig X}$ 與 $\mu_{\sssig X}-a$，我們則借其意，將此方法稱為正交分解 (orthogonal decomposition)，在往後的推導過程中，我們將經常使用這個技巧。
Theorem 2.15 (期望值與變異數的泰勒近似, Taylor approximation of the mean and the variance)
若 $X$ 為一隨機變數，且 $\mu_{\sssig X}=\mathbb{E}(X)$、$\sigma_{\sssig X}^{2}=\mathrm{Var}(X)$ 皆為有限，$g(\cdot)$ 為一二階可微且可測之函數，則
- $$ \mathbb{E}\bigl[g(X)\bigr]\fallingdotseq g(\mu_{\sssig X})+\frac{\,g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})\,}{2}\,\sigma_{\sssig X}^{2} $$
- $$ \mathrm{Var}\bigl[g(X)\bigr]\fallingdotseq\bigl[g^{\prime}(\mu_{\sssig X})\bigr]^{2}\sigma_{\sssig X}^{2} $$
Note
Theorem 2.15 的 (1) 用到 $g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})$，(2) 用到 $g^{\prime}(\mu_{\sssig X})$，故前提要求 $g(\cdot)$ 二階可微；只有一階可微時，(1) 所寫的 $g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})$ 並不存在。下面的推導把 $g(X)$ 在 $\mu_{\sssig X}$ 處展開到第三項，用到的也正是二階導數。至於捨去第三項之後的誤差有多大，須另加更強的條件才估計得出來，本篇只取近似值，不再細談。
許多時候我們並不知道隨機變數 $X$ 的機率函數 $f_{\sssig X}(x)$，只知道期望值 $\mu_{\sssig X}$ 與變異數 $\sigma_{\sssig X}^{2}$。在這種有限的資訊之下，我們仍然可以利用這些資訊，求出隨機變數 $X$ 之某函數轉換 $g(X)$ 的期望值與變異數近似值，步驟如下:
(1) 先將 $g(X)$ 在 $X=\mu_{\sssig X}$ 處作泰勒級數 (Taylor series) 展開，可得
\[\begin{aligned} g(X)&=g(\mu_{\sssig X})+\frac{g^{\prime}(\mu_{\sssig X})}{1!}(X-\mu_{\sssig X})^{1}+\frac{g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})}{2!}(X-\mu_{\sssig X})^{2}+\cdots\\[0.45em] &=g(\mu_{\sssig X})+g^{\prime}(\mu_{\sssig X})(X-\mu_{\sssig X})+\frac{1}{2}\,g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})(X-\mu_{\sssig X})^{2}+\cdots \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} g(X)&=g(\mu_{\sssig X})+\frac{g^{\prime}(\mu_{\sssig X})}{1!}(X-\mu_{\sssig X})^{1}\\[0.45em] &\quad +\frac{g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})}{2!}(X-\mu_{\sssig X})^{2}+\cdots\\[0.45em] &=g(\mu_{\sssig X})+g^{\prime}(\mu_{\sssig X})(X-\mu_{\sssig X})\\[0.45em] &\quad +\frac{1}{2}\,g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})(X-\mu_{\sssig X})^{2}+\cdots \end{aligned}\]
(2) 採用前三項取其期望值，可得
\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl[g(X)\bigr]&\fallingdotseq\mathbb{E}\bigl[g(\mu_{\sssig X})\bigr]+g^{\prime}(\mu_{\sssig X})\,\mathbb{E}\bigl(X-\mu_{\sssig X}\bigr)+\frac{1}{2}\,g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})\,\mathbb{E}\bigl[(X-\mu_{\sssig X})^{2}\bigr]\\[0.45em] &=g(\mu_{\sssig X})+\frac{1}{2}\,g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})\,\sigma_{\sssig X}^{2} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\bigl[g(X)\bigr]\fallingdotseq\mathbb{E}\bigl[g(\mu_{\sssig X})\bigr]\\[0.45em] &\quad +g^{\prime}(\mu_{\sssig X})\,\mathbb{E}\bigl(X-\mu_{\sssig X}\bigr)\\[0.45em] &\quad +\frac{1}{2}\,g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})\,\mathbb{E}\bigl[(X-\mu_{\sssig X})^{2}\bigr]\\[0.45em] &=g(\mu_{\sssig X})+\frac{1}{2}\,g^{\prime\prime}(\mu_{\sssig X})\,\sigma_{\sssig X}^{2} \end{aligned}\]
(3) 採用前兩項取其變異數，可得
\[\mathrm{Var}\bigl[g(X)\bigr]\fallingdotseq\mathrm{Var}\bigl[g(\mu_{\sssig X})\bigr]+\bigl[g^{\prime}(\mu_{\sssig X})\bigr]^{2}\,\mathrm{Var}\bigl(X-\mu_{\sssig X}\bigr)=\bigl[g^{\prime}(\mu_{\sssig X})\bigr]^{2}\sigma_{\sssig X}^{2}\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{Var}\bigl[g(X)\bigr]\fallingdotseq\mathrm{Var}\bigl[g(\mu_{\sssig X})\bigr]\\[0.45em] &\quad +\bigl[g^{\prime}(\mu_{\sssig X})\bigr]^{2}\,\mathrm{Var}\bigl(X-\mu_{\sssig X}\bigr)\\[0.45em] &=\bigl[g^{\prime}(\mu_{\sssig X})\bigr]^{2}\sigma_{\sssig X}^{2} \end{aligned}\]
Example 2.21
Let $X$ be a positive-valued random variable. If $\mathbb{E}(X)=9$ and $\mathrm{Var}(X)=100$, please calculate the approximate mean and variance of $\ln X$.
令 $g(X)=\ln X$，則有
\[g^{\prime}(X)=\frac{1}{X}\quad\text{且}\quad g^{\prime\prime}(X)=\frac{-1}{X^{2}}\]
將 $\ln X$ 在 $X=\mu_{\sssig X}$ 處作泰勒級數展開至第三項，可得
\[\ln X\fallingdotseq\ln\mu_{\sssig X}+\frac{1}{\mu_{\sssig X}}(X-\mu_{\sssig X})+\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{\mu_{\sssig X}^{2}}(X-\mu_{\sssig X})^{2}\]
\[\begin{aligned} \ln X&\fallingdotseq\ln\mu_{\sssig X}+\frac{1}{\mu_{\sssig X}}(X-\mu_{\sssig X})\\[0.45em] &\quad +\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{\mu_{\sssig X}^{2}}(X-\mu_{\sssig X})^{2} \end{aligned}\]
故 $\ln X$ 的近似期望值為
\[\mathbb{E}(\ln X)\fallingdotseq\ln\mu_{\sssig X}+\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{\mu_{\sssig X}^{2}}\,\sigma_{\sssig X}^{2}=\ln9-\frac{100}{2\times9^{2}}\fallingdotseq1.580\]
\[\begin{aligned} &\mathbb{E}(\ln X)\fallingdotseq\ln\mu_{\sssig X}+\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{\mu_{\sssig X}^{2}}\,\sigma_{\sssig X}^{2}\\[0.45em] &\quad =\ln9-\frac{100}{2\times9^{2}}\fallingdotseq1.580 \end{aligned}\]
而其近似變異數為
\[\mathrm{Var}(\ln X)\fallingdotseq\frac{1}{\mu_{\sssig X}^{2}}\,\sigma_{\sssig X}^{2}=\frac{100}{9^{2}}\fallingdotseq1.235\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{Var}(\ln X)\fallingdotseq\frac{1}{\mu_{\sssig X}^{2}}\,\sigma_{\sssig X}^{2}\\[0.45em] &\quad =\frac{100}{9^{2}}\fallingdotseq1.235 \end{aligned}\]
標準差
Definition 2.8 (標準差, standard deviation)
若 $X$ 為一隨機變數，其變異數存在且為 $\sigma_{\sssig X}^{2}$，則
\[\sigma_{\sssig X}=\operatorname{SD}(X)=\sqrt{\sigma_{\sssig X}^{2}}\]
為其標準差 (standard deviation)。
標準差有一些地方需要注意:
(1) 標準差的單位是變異數的單位再開根號，與期望值是相同的。
Note
雖然標準差的計算多了一道程序，而且因為根號的緣故，較難以推論，但由於單位與原始單位相同，大多數的資料分析，在呈現上還是比較常用標準差。
(2) 我們稱其為母體標準差，避免與具有隨機性的樣本標準差搞混，後者的定義如下
\[S=\sqrt{\frac{1}{\,n-1\,}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\overline{X}\bigr)^{2}}\]Note
與變異數相同，標準差是用來衡量一個隨機變數離散程度的母數，不具隨機性。
(3) $X$ 的函數標準差為
\[\operatorname{SD}\bigl[g(X)\bigr]=\sqrt{\mathrm{Var}\bigl[g(X)\bigr]}\]Note
事實上，不論如何，在計算標準差的時候，我們總是都先計算變異數，再行開根號。
Theorem 2.16 (標準差的性質, standard deviation properties)
若 $X$ 為一隨機變數，$g(\cdot)$ 為一實值可測函數，$a, b$ 為二常數，則
- $$ \operatorname{SD}(X)\geqslant0 $$
- $$ \operatorname{SD}\bigl[ag(X)+b\bigr]=\lvert a\rvert\,\operatorname{SD}\bigl[g(X)\bigr] $$
Proof. 本處的證明我們承接 Theorem 2.13 的變異數性質接續證明。
(1) 由變異數的非負性可知
\[\mathrm{Var}(X)\geqslant0\Longrightarrow\operatorname{SD}(X)\geqslant0\]
(2) 由 Definition 2.8 與變異數的平方伸縮性可知
\[\begin{aligned} \operatorname{SD}\bigl[ag(X)+b\bigr]&=\sqrt{\mathrm{Var}\bigl[ag(X)+b\bigr]}=\sqrt{a^{2}\,\mathrm{Var}\bigl[g(X)\bigr]}\\[0.45em] &=\lvert a\rvert\,\operatorname{SD}\bigl[g(X)\bigr] \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\operatorname{SD}\bigl[ag(X)+b\bigr]=\sqrt{\mathrm{Var}\bigl[ag(X)+b\bigr]}\\[0.45em] &\quad =\sqrt{a^{2}\,\mathrm{Var}\bigl[g(X)\bigr]}\\[0.45em] &\quad =\lvert a\rvert\,\operatorname{SD}\bigl[g(X)\bigr] \end{aligned}\]
原式得證。 $\square$
Theorem 2.16 中，(1) 是承接了變異數的非負性。(2) 的部分則是可以仿照 Theorem 2.13，透過設定 $g(\cdot)$ 與 $a, b$ 的值，來得到許多有用的子性質，並將之與 Theorem 2.13 比較，見以下設定。
(1) [ 設定 $a=0$ ]
\[\operatorname{SD}(b)=0\]此即常數不具變異性。
(2) [ 設定 $a=1$，$g(X)=X$ ]
\[\operatorname{SD}(X+b)=\operatorname{SD}(X)\]此即平移不變性。
(3) [ 設定 $a\neq0$ 且 $g(X)=X$，$b=0$ ]
\[\operatorname{SD}(aX)=\lvert a\rvert\,\operatorname{SD}(X)\]此即絕對伸縮性。
Note
變異數的平方伸縮性，在標準差中不復存在，取而代之的是絕對伸縮性。絕對伸縮性的直觀，在於標準差的單位與期望值相同，故若把原隨機變數乘上 $a$ 倍，則其單位尺度應隨之改變，然而因為標準差具有非負性，所以在標準差的單位尺度上，原先應該跟著伸縮 $a$ 倍的變異程度，則隨之改為 $\lvert a\rvert$ 倍。
Example 2.19 (Continued)
Suppose that $X$ denotes the number of customer visits recorded in a study of visits and income, and that the variance of $X$ is $0.81$. The income associated with the number of visits is $W=449+0.25X$.
- Determine the standard deviation of the income $W$.
(2) 由前一小題已求得
\[\begin{aligned} \mathrm{Var}(W)&=\mathrm{Var}(449+0.25X)=0.25^{2}\times\mathrm{Var}(X)\\[0.45em] &=0.0625\times0.81=0.050625 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{Var}(W)=\mathrm{Var}(449+0.25X)\\[0.45em] &\quad =0.25^{2}\times\mathrm{Var}(X)\\[0.45em] &\quad =0.0625\times0.81=0.050625 \end{aligned}\]
故由 Theorem 2.16 的絕對伸縮性可得
\[\operatorname{SD}(W)=\sqrt{\mathrm{Var}(W)}=\lvert 0.25\rvert\times\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=0.225\]
\[\begin{aligned} &\operatorname{SD}(W)=\sqrt{\mathrm{Var}(W)}\\[0.45em] &\quad =\lvert 0.25\rvert\times\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=0.225 \end{aligned}\]
本篇小結
三道例題示範了變異數的三種求算情境。Example 2.19 只知道 $X$ 的變異數與 $W$ 對 $X$ 的線性關係，直接套用平移不變性與平方伸縮性即可；Example 2.20 的密度函數分段定義，期望值與平方期望值都要分段積分，再代入計算公式；Example 2.14 (Continued) 是混合型隨機變數，離散部分以質點加權、連續部分以密度積分，兩者分開計算之後合併。
Theorem 2.14 指出，在所有的實數 $a$ 之中，$\mathbb{E}[(X-a)^{2}]$ 在 $a=\mu_{\sssig X}$ 處達到最小，證明的關鍵是把 $X-a$ 拆成 $(X-\mu_{\sssig X})+(\mu_{\sssig X}-a)$ 的正交分解。Theorem 2.15 則處理只知道 $\mu_{\sssig X}$ 與 $\sigma_{\sssig X}^{2}$ 的情形。把 $g(X)$ 在 $\mu_{\sssig X}$ 處作泰勒級數展開，取前三項求期望值、取前兩項求變異數，便得到 $g(X)$ 的期望值與變異數的近似值，Example 2.21 即以 $g(X)=\ln X$ 示範。
Definition 2.8 把標準差定義為變異數的平方根，它的單位與期望值相同，因此資料分析在呈現上多用標準差；指稱時同樣以母體標準差與樣本標準差 $S$ 區別，計算上則一律先求變異數再開根號。Theorem 2.16 的兩項性質都由 Theorem 2.13 承接而來，其中的複合性質經設定後得到常數不具變異性、平移不變性與絕對伸縮性三個子性質，Example 2.19 (Continued) 便是絕對伸縮性的直接應用。變異數的平方伸縮性在標準差中改為絕對伸縮性，是兩者性質唯一不同之處。下一篇離開離散程度的量數，改談指出分配位置的另一個量數，眾數。
參考文獻與延伸閱讀
- 黃文璋，2010，《機率論》，二版，華泰文化。
- Morris H. DeGroot and Mark J. Schervish. 2012. Probability and Statistics. 4th ed. Pearson.
- George Casella and Roger L. Berger. 2002. Statistical Inference. 2nd ed. Duxbury.
- Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, and Duane C. Boes. 1974. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed. McGraw-Hill.